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Les probabilités

I

Probabilité sur un ensemble fini

A

L'environnement probabiliste

Issue

Les résultats possibles d'une expérience sont appelés issues (ou éventualités).

Les éventualités de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces, notées \(\displaystyle{e_{i}}\), sont :

  • \(\displaystyle{e_{1}=1}\)
  • \(\displaystyle{e_{2}=2}\)
  • \(\displaystyle{e_{3}=3}\)
  • \(\displaystyle{e_{4}=4}\)
  • \(\displaystyle{e_{5}=5}\)
  • \(\displaystyle{e_{6}=6}\)

Evénement

Un événement est une partie de \(\displaystyle{\Omega}\).

-

Evénements élémentaires

Soit \(\displaystyle{\Omega}\) l'univers d'une expérience aléatoire.
On appelle événements élémentaires tout événement ne comportant qu'une issue, c'est-à-dire les événements \(\displaystyle{\left\{ \omega_1 \right\}}\), \(\displaystyle{\left\{ \omega_2 \right\}}\), ..., \(\displaystyle{\left\{ \omega_n \right\}}\) si \(\displaystyle{\omega_{1}, \omega_{2},..., \omega_{n}}\) sont les issues de l'univers \(\displaystyle{\Omega}\).

L'univers de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces est : \(\displaystyle{\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}}\). Les événements \(\displaystyle{\left\{ 1 \right\}}\), \(\displaystyle{\left\{ 2 \right\}}\), \(\displaystyle{\left\{ 3 \right\}}\), \(\displaystyle{\left\{ 4 \right\}}\), \(\displaystyle{\left\{ 5 \right\}}\) et \(\displaystyle{\left\{ 6 \right\}}\) constituent des événements élémentaires.

Probabilité

Soit un événement \(\displaystyle{A}\).
La probabilité de \(\displaystyle{A}\), notée \(\displaystyle{p\left(A\right)}\), est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent l'événement \(\displaystyle{A}\).

Si on lance un dé équilibré à 6 faces et que l'on s'intéresse à l'événement \(\displaystyle{A}\) : "obtenir un multiple de 3".

On a alors \(\displaystyle{A=\left\{ 3 ; 6 \right\}}\). Les nombres 3 et 6 ont la même probabilité de sortie, c'est-à-dire \(\displaystyle{\dfrac16}\).

Ainsi :

\(\displaystyle{p\left(A\right)=\dfrac16+\dfrac16=\dfrac26=\dfrac13}\).

Evénement certain

Un événement certain est un événement qui se réalisera sûrement. Sa probabilité est égale à 1.

\(\displaystyle{\Omega}\) est un événement certain. \(\displaystyle{p\left(\Omega\right)=1}\).

Evénement impossible

Un événement impossible est un événement qui ne se réalisera jamais. Sa probabilité est nulle.

L'ensemble vide \(\displaystyle{\varnothing}\) est un événement impossible. \(\displaystyle{p\left(\varnothing\right)=0}\).

Ne pas confondre un événement et sa probabilité qui est un nombre.

B

La réunion d'événements

Réunion d'événements

Soient A et B deux événements d'un univers \(\displaystyle{\Omega}\). On appelle réunion de A et B l'événement noté \(\displaystyle{A\cup B}\) contenant les issues qui réalisent au moins un des deux événements A et B.

Événements incompatibles

Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément. Autrement dit, deux événements sont incompatibles s'ils ne contiennent pas d'issue commune.

On lance un dé à six faces. On considère les événements suivants :

  • A : "obtenir un multiple de 3"
  • B : "obtenir 4 ou 5"

A et B sont deux événements incompatibles car ils ne peuvent pas être réalisés simultanément.

Probabilité de la réunion de deux événements incompatibles

Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux événements incompatibles :

\(\displaystyle{p\left(A \cup B\right) = p\left(A\right) + p\left(B\right)}\)

-

Probabilité de la réunion de deux événements

Soient \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) deux événements :

\(\displaystyle{p\left(A \cup B\right) = p\left(A\right) + p\left(B\right) - p\left(A \cap B\right)}\)

-
C

L'événement contraire

Événement contraire

On appelle événement contraire de l'événement A, noté \(\displaystyle{\overline{A}}\), l'ensemble des éléments de \(\displaystyle{\Omega}\) qui ne sont pas dans A.

On lance un dé à six faces.
L'événement contraire à "obtenir un multiple de 3" est l'événement "ne pas obtenir un multiple de 3" soit l'événement "obtenir 1, 2, 4 ou 5".

Probabilité de l'événement contraire

Soit un événement \(\displaystyle{A}\).
La probabilité de son événement contraire, noté \(\displaystyle{\overline{A}}\), est égale à :

\(\displaystyle{p\left(\overline{A}\right) = 1 - p\left(A\right)}\)

-

\(\displaystyle{A\cup\overline{A}=\Omega}\)

\(\displaystyle{A\cap\overline{A}=\varnothing}\)

II

Les lois de probabilité discrètes

A

Les variables aléatoires

Variable aléatoire

Une variable aléatoire réelle X est une fonction qui associe un réel à chaque événement élémentaire de l'univers d'une expérience aléatoire.

L'ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire réelle X est noté \(\displaystyle{X\left( \Omega \right)}\).

Imaginons le jeu suivant :

"On mise une somme de 2 € puis on lance un dé équilibré à six faces.
Si la face obtenue est supérieure ou égale à 5, on remporte une somme égale au double du nombre de la face.
Si la face est 1 ou 2, on ne remporte rien.
Enfin, dans les autres cas, on remporte un gain égal au nombre inscrit sur la face."

On appelle \(\displaystyle{X}\) la variable aléatoire qui associe, à chaque issue de cette expérience (face 1, face 2, etc), le gain algébrique du joueur (gain minoré de la mise).

Si les faces obtenues sont 5 ou 6, les gains algébriques respectifs sont : 8 € ou 10 €.

Si les faces obtenues sont 3 ou 4, les gains algébriques respectifs sont : 1 € ou 2 €.

Si les faces obtenues sont 1 ou 2, le gain algébrique est identique : − 2 €.

Par conséquent la variable aléatoire peut prendre les valeurs : −2 ; 1 ; 2 ; 8 ; 10.

On note \(\displaystyle{X\left( \Omega \right)=\left\{ -2;1;2;8;10\right\}}\).

B

Loi de probabilité

Loi de probabilité

Soit \(\displaystyle{X}\) une variable aléatoire prenant les valeurs :

\(\displaystyle{X\left(\Omega\right) = \{x_{1}, x_{2},..., x_{n}\}}\)

La loi de probabilité de \(\displaystyle{X}\) associe à chaque réel \(\displaystyle{x_{i}}\) la probabilité \(\displaystyle{p\left(\left\{ X = x_{i} \right\}\right)}\), que l'on peut noter en abrégé \(\displaystyle{p\left(X = x_{i}\right)}\).

On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.

\(\displaystyle{x_{i}}\) \(\displaystyle{x_{1}}\) \(\displaystyle{x_{2}}\) ... \(\displaystyle{x_{n}}\)
\(\displaystyle{p\left(X = x_{i}\right)}\) \(\displaystyle{p\left(X = x_{1}\right)}\) \(\displaystyle{p\left(X = x_{2}\right)}\) ... \(\displaystyle{p\left(X = x_{n}\right)}\)

Imaginons le jeu suivant :

"On mise une somme de 2 € puis on lance un dé équilibré.

Si la face obtenue est supérieure ou égale à 5, on remporte une somme égale au double du nombre de la face.

Si la face est 1 ou 2, on ne remporte rien.

Enfin, dans les autres cas, on remporte un gain égal au nombre inscrit sur la face."

On appelle \(\displaystyle{X}\) la variable aléatoire qui associe, à chaque issue de cette expérience (face 1, face 2, etc), le gain algébrique du joueur (gain minoré de la mise).

On a donc \(\displaystyle{X\left( \Omega \right)=\left\{ -2;1;2;8;10\right\}}\).

La loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

Issues \(\displaystyle{x_i}\) −2 1 2 8 10
Probabilités \(\displaystyle{p\left(X=x_i\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac26}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\)

La somme des probabilités d'une loi de probabilités vaut toujours 1 :

\(\displaystyle{p\left(X = x_{1}\right) + p\left(X = x_{2}\right) +... + p\left(X = x_{n}\right) = 1}\)

Dans la loi de probabilités suivante :

\(\displaystyle{x_i}\) −2 1 2 8 10
\(\displaystyle{P\left(X=x_i\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac26}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\)

On a bien :

\(\displaystyle{P\left(X=-2\right)+P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=8\right)+P\left(X=10\right)=\dfrac26+\dfrac16+\dfrac16+\dfrac16+\dfrac16=1}\)

Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire revient à donner l'ensemble des valeurs prises par X et, pour chaque valeur k prise par X, la probabilité de l'événement \(\displaystyle{\left\{ X=k \right\}}\), notée \(\displaystyle{p\left( X=k \right)}\).

C

Espérance, variance, écart-type

Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) prenant comme valeurs \(\displaystyle{x_0}\), \(\displaystyle{x_1}\), ..., \(\displaystyle{x_n}\) est le réel :

\(\displaystyle{E\left(X\right) =x_{0} p\left(X = x_{0}\right)+x_{1} p\left(X = x_{1}\right)+...+x_{n} p\left(X = x_{n}\right)}\)

On considère la loi de probabilités suivante :

\(\displaystyle{x_i}\) −2 1 2 8 10
\(\displaystyle{p\left(X=x_i\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac26}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\)

L'espérance de la variable X est ici :

\(\displaystyle{E\left(X\right)=-2\times\dfrac26+1\times\dfrac16+2\times\dfrac16+8\times\dfrac16+10\times\dfrac16=\dfrac{17}{6}\approx2,83}\)

L'espérance d'une variable aléatoire X peut s'interpréter comme étant la valeur moyenne des valeurs observées de la variable X lors d'un grand nombre de répétitions de l'expérience.

L'espérance est linéaire. En effet, pour tous réels a et b :

\(\displaystyle{E\left(aX + b\right) = aE\left(X\right) + b}\)

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes telles que \(\displaystyle{Y=2X-8}\) et \(\displaystyle{E\left(X\right)=45}\).

On peut en déduire l'espérance de Y.

\(\displaystyle{E\left(Y\right)=E\left(2X-8\right)=2\times E\left(X\right)-8=2\times45-8=82}\)

Variance

La variance d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) prenant les valeurs \(\displaystyle{x_0,x_1,...,x_n}\) est le réel :

\(\displaystyle{V\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}\left[x_{i} - E\left(X\right)\right]^{2} p\left(X = x_{i}\right)=\left[x_{0} - E\left(X\right)\right]^{2} p\left(X = x_{0}\right)+...+\left[x_{n} - E\left(X\right)\right]^{2} p\left(X = x_{n}\right)}\)

Considérons la loi de probabilité suivante, avec \(\displaystyle{E\left(X\right)=\dfrac{17}{6}}\).

\(\displaystyle{x_i}\) −2 1 2 8 10
\(\displaystyle{P\left(X=x_i\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac26}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\) \(\displaystyle{\dfrac16}\)

La variance vaut :

\(\displaystyle{V\left(X\right)=\left( -2-\dfrac{17}{6} \right)^2\times\dfrac{2}{6}+\left( 1-\dfrac{17}{6} \right)^2\times\dfrac{1}{6}+\left( 2-\dfrac{17}{6} \right)^2\times\dfrac{1}{6}+\left( 8-\dfrac{17}{6} \right)^2\times\dfrac{1}{6}+\left( 10-\dfrac{17}{6} \right)^2\times\dfrac{1}{6}}\)

Soit :

\(\displaystyle{V\left(X\right)=\dfrac{773}{36}\approx21,47}\)

Avec les notations précédentes, la variance de la variable aléatoire X peut également se calculer par :

\(\displaystyle{V\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}\left(x_{i} \right)^{2} p\left(X = x_{i}\right)-\left[ E\left(X\right) \right]^2}\)

En reprenant l'exemple précédent :

\(\displaystyle{V\left(X\right)=\left( -2 \right)^2\times\dfrac{2}{6}+\left( 1 \right)^2\times\dfrac{1}{6}+\left( 2 \right)^2\times\dfrac{1}{6}+\left( 8 \right)^2\times\dfrac{1}{6}+\left( 10 \right)^2\times\dfrac{1}{6}-\left( \dfrac{17}{6} \right)^2}\)

Soit :

\(\displaystyle{V\left(X\right)=\dfrac{773}{36}\approx21,47}\)

Pour tous réels a et b :

\(\displaystyle{V\left(aX + b\right) = a^{2} V\left(X\right)}\)

Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes telles que \(\displaystyle{Y=2X-8}\) et \(\displaystyle{V\left(X\right)=11}\).

On peut en déduire la variance de Y :

\(\displaystyle{V\left(Y\right)=V\left(2X-8\right)=2^2\times V\left(X\right)=4\times11=44}\)

Ecart-type

L'écart-type d'une variable aléatoire \(\displaystyle{X}\) est le réel :

\(\displaystyle{\sigma\left(X\right) =\sqrt{V\left(X\right)}}\)

Si X est une variable aléatoire telle que \(\displaystyle{V\left(X\right)=\dfrac{773}{36}}\), alors :

\(\displaystyle{\sigma\left(X\right)=\sqrt{\dfrac{773}{36}}=\dfrac{\sqrt{773}}{6}\approx4,63}\)

III

Répétition d'expériences identiques et indépendantes

A

Modélisation à l'aide d'un arbre

Arbre pondéré

On peut modéliser une expérience aléatoire dont l'univers est partitionné en quelques événements (souvent deux ou trois) à l'aide d'un arbre pondéré.

  • Les différents événements partitionnant l'univers sont indiqués aux extrémités des branches d'un arbre.
  • La probabilité de chaque événement faisant partie de la partition de l'univers est inscrite sur la branche conduisant à cet événement.

On lance une fois un dé équilibré à six faces. On note A : "Obtenir le 6". On dresse l'arbre pondéré correspondant à la situation, sachant que :

  • \(\displaystyle{p\left(A\right)=\dfrac{1}{6}}\)
  • \(\displaystyle{p\left(\overline{A}\right)=\dfrac{5}{6}}\)
-

On tire au hasard une boule dans une urne contenant 5 boules vertes, 10 boules blanches et 25 boules rouges. Il y a donc 40 boules dans l'urne. On note :

  • A : "Obtenir une boule verte"
  • B : "Obtenir une boule blanche"
  • C : "Obtenir une boule rouge"

On dresse l'arbre pondéré correspondant à la situation, sachant que :

  • \(\displaystyle{p\left(A\right)=\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{8}}\)
  • \(\displaystyle{p\left(B\right)=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}}\)
  • \(\displaystyle{p\left(C\right)=\dfrac{25}{40}=\dfrac{5}{8}}\)
-

La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même point est égale à 1.

B

Expériences indépendantes

Expériences indépendantes

Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le résultat de l'autre.

Le fait de lancer deux fois une pièce de monnaie constitue la répétition de deux épreuves identiques (lancer une pièce) et indépendantes, car le résultat du second lancer ne dépend pas du résultat du premier lancer.

C

Modélisation de la répétition de deux expériences identiques et indépendantes

On représente la répétition d'expériences identiques et indépendantes par un arbre pondéré.

Dans un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences identiques et indépendantes, la probabilité d'un événement est le produit des probabilités apparaissant sur les branches du chemin représentant l'événement.

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie. On note \(\displaystyle{A}\) l'issue "obtenir PILE" et \(\displaystyle{\overline{A}}\) l'issue "obtenir FACE".

On a ici \(\displaystyle{P\left(A\right)=\dfrac12}\) et \(\displaystyle{P\left( \overline{A} \right)=\dfrac12}\).

On modélise la situation grâce à l'arbre pondéré ci-dessous.

Le chemin \(\displaystyle{AA}\) correspond à l'événement "obtenir deux fois PILE", dont la probabilité est donc : \(\displaystyle{\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14}\).

Le chemin \(\displaystyle{\overline{A}\text{ }\overline{A}}\) correspond à l'événement "obtenir deux fois FACE", dont la probabilité est donc : \(\displaystyle{\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14}\).

L'événement "obtenir une fois PILE et une fois FACE" est formé des deux issues correspondant aux chemins \(\displaystyle{A\overline{A}}\) et \(\displaystyle{\overline{A}A}\). Sa probabilité est donc : \(\displaystyle{\dfrac12\times \dfrac12+\dfrac12\times \dfrac12=\dfrac12}\).

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