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Appliquer le principe de la conservation de l'énergie

En appliquant le principe de conservation de l'énergie mécanique, on peut déterminer la vitesse ou l'altitude d'un système dans l'état initial ou final de son mouvement.

Une balle de 250 g est lâchée, sans vitesse initiale, d'une hauteur de 170 cm. Déterminer sa vitesse lorsqu'elle touche le sol, sachant que, pendant sa chute, les frottements sont négligeables.

Donnée : l'intensité de la pesanteur est \(\displaystyle{g = 9,81 }\) N.kg−1.

Etape 1

Définir le système

On définit le système. On le choisit de telle manière que son énergie mécanique se conserve. C'est le cas d'un système soumis uniquement à son poids et / ou à des forces perpendiculaires à son déplacement (comme une réaction normale exercée par un support, une tension exercée par un câble, etc.). Il faut donc s'assurer que le système n'est pas soumis à des frottements ou qu'ils sont négligeables.

Dans certains cas, le système dont l'énergie mécanique se conserve est un ensemble de plusieurs systèmes.

Si on étudie le mouvement d'un parachutiste, le système à définir est : {parachutiste + parachute}.

Lors de sa chute, la balle n'est soumise qu'à son poids. On peut donc choisir ce système pour appliquer la conservation de l'énergie mécanique.

Etape 2

Justifier la conservation de l'énergie mécanique du système

On justifie que l'énergie mécanique du système se conserve, en citant les forces que subit le système.

Puisque les frottements qui s'exercent sur la balle lors de sa chute sont négligeables, elle est uniquement soumise à son poids et est donc en chute libre. On en déduit que son énergie mécanique se conserve.

Etape 3

Définir les états initial et final

On définit les états initial et final du mouvement du système, pour lesquels l'énoncé donne des valeurs de vitesse et d'altitude du système.

On définit :

  • L'état initial du mouvement : moment où la balle est lâchée
  • L'état final du mouvement : moment où la balle touche le sol
Etape 4

Écrire l'égalité traduisant la conservation de l'énergie mécanique

On écrit l'égalité traduisant la conservation de l'énergie mécanique entre les états initial et final : \(\displaystyle{E_{M,initial} = E_{M,final}}\).

On a donc :

\(\displaystyle{E_{M,initial} = E_{M,final}}\)

Etape 5

Écrire la relation précédente en fonction des énergies cinétiques et potentielles de pesanteur

On écrit la relation précédente en fonction des énergies cinétiques et potentielles de pesanteur. Puisque \(\displaystyle{E_{M} = E_C + E_{PP}}\), on obtient : \(\displaystyle{E_{C, initial} + E_{PP, initial} = E_{C, final} + E_{PP, final}}\).

D'où :

\(\displaystyle{E_{C, initial} + E_{PP, initial} = E_{C, final} + E_{PP, final}}\)

Etape 6

Repérer les grandeurs données

On repère les grandeurs données dans l'énoncé, parmi :

  • Les vitesses initiale et finale du système
  • Les altitudes initiale et finale du système

L'énoncé donne :

  • L'altitude initiale de la balle : \(\displaystyle{z_{initial} = 170}\) cm
  • La vitesse initiale de la balle : \(\displaystyle{v_{initial} = 0}\) m.s−1 puisque la balle est lâchée sans vitesse initiale.
  • L'altitude finale de la balle : \(\displaystyle{z_{final} = 0}\) m puisqu'à l'état final la balle touche le sol.
Etape 7

Repérer, le cas échéant, les énergies nulles

On repère, le cas échéant, les énergies cinétiques et potentielles de pesanteur qui sont nulles.

  • Pour les énergies cinétiques, c'est le cas lorsque la vitesse du système est nulle.
  • Pour les énergies potentielles de pesanteur, c'est le cas lorsque l'altitude du système est nulle.

Ici :

  • La vitesse initiale de la balle est nulle, on a donc : \(\displaystyle{E_{C, initial} = 0}\) J.
  • L'altitude finale de la balle est nulle, on a donc : \(\displaystyle{E_{PP, final} = 0}\) J.
Etape 8

En déduire la relation liant les vitesses et altitudes

On en déduit la relation liant les vitesses et altitudes initiales et finales, sachant que :

  • L'expression de l'énergie cinétique est : \(\displaystyle{E_C = \dfrac{1}{2} \times m \times v^2}\)
  • L'expression de l'énergie potentielle de pesanteur est : \(\displaystyle{E_{PP} = m \times g \times z}\)

On a donc :

\(\displaystyle{E_{PP, initial} = E_{C, final}}\)

Soit :

\(\displaystyle{ m \times g \times z_{initial} = \dfrac{1}{2} \times m \times v_{final}^2}\)

Etape 9

Isoler la grandeur recherchée

On isole la grandeur recherchée.

La vitesse de la balle à l'état final a donc pour expression :

\(\displaystyle{ v_{final} = \sqrt{2 \times g \times z_{initial}}}\)

Etape 10

Convertir, le cas échéant

On convertit, le cas échéant, les grandeurs données afin que :

  • Les vitesses soient exprimées en mètres par seconde (m.s−1)
  • Les altitudes soient exprimées en mètres (m)

Ici, l'altitude initiale est donnée en centimètres (cm), il faut donc la convertir en mètres (m) :

\(\displaystyle{z_{initial} = 170}\) cm

Soit :

\(\displaystyle{z_{initial} = 1,70}\) m

Etape 11

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique, le résultat devant être écrit avec autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins et étant exprimé :

  • En mètres (m) si c'est une altitude
  • En mètres par seconde (m.s−1) si c'est une vitesse

On obtient :

\(\displaystyle{v_{final} = \sqrt{2 \times 9,81 \times 1,70}}\)

\(\displaystyle{v_{final} = 5,8}\) m.s−1

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