Quatrième 2016-2017

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La proportionnalité

I

La relation de proportionnalité

A

Les tableaux de proportionnalité

Grandeurs proportionnelles

Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si on passe des valeurs de la première grandeur aux valeurs de la deuxième en multipliant toujours par un même nombre.

Max a acheté 1 croissant pour 1,02€. Pour en acheter 3, il devra payer \(\displaystyle{3 \times 1,02 = 3,06}\) €. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.

Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'on en multiplie une par un nombre non nul, l'autre est également multipliée par ce même nombre.

Pour passer d'un prix en euros (première grandeur) à un prix en francs (deuxième grandeur) on multiplie chaque prix en euros par 6,55957. Si on multiplie un prix en euros par 10, on doit également multiplier le prix en francs par 10.

Tableau de proportionnalité

Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité. Par définition, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé "coefficient de proportionnalité".
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.

Sachant qu'un croissant coûte 1,02€, voici les prix pour 2, 3, 4, 5 croissants.

-

Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant, 1,02.

Dans un tableau de proportionnalité, si l'une des colonnes que les autres, il ne s'agit pas d'une situation de proportionnalité.

3 2 1,1
9 6 3,1

Ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité. Pour les deux premières colonnes, on multiplie par 3 pour passer de la première ligne à la seconde, alors que pour la dernière colonne ce n'est pas le cas.

Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes.

-

Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par un nombre.

-
B

Le produit en croix

On considère le tableau suivant :

-

Si c'est un tableau de proportionnalité, alors on a :

\(\displaystyle{a\times d=b\times c}\)

Autrement dit, dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du produit en croix.

-

\(\displaystyle{2,04\times ? = \left(2 \times 7,14\right)}\)

\(\displaystyle{ ? = \left(2 \times 7,14\right) \div 2,04 = 7}\)

-

Quatrième proportionnelle

Dans un produit en croix, la valeur manquante est appelée la quatrième proportionnelle.

Plus généralement, le produit en croix est une relation que vérifie deux fractions égales.
Si \(\displaystyle{\dfrac{\color{Blue}{a}}{\color{Red}{b}} = \dfrac{\color{Red}{c}}{\color{Blue}{d}}}\), alors \(\displaystyle{\color{Blue}{a \times d} = \color{Red}{b \times c}}\).
C

La représentation graphique de la proportionnalité

  • Deux grandeurs proportionnelles peuvent être représentées graphiquement par des points alignés sur une droite passant par l'origine du repère.
  • Réciproquement, si deux grandeurs sont représentées par des points alignés avec l'origine du repère, alors ces grandeurs sont proportionnelles.

Le graphique suivant représente la situation du tableau de proportionnalité :

-
-
II

Les applications de la proportionnalité

A

La vitesse moyenne

Vitesse moyenne

Lors d'un parcours d'une distance d en un temps t, la vitesse moyenne v est égale à :

\(\displaystyle{v = \dfrac{d}{t}}\)

Un cycliste a parcouru 2,6 km en 15 mn. Pour connaître sa vitesse moyenne en km/h, on divise la distance parcourue exprimée en kilomètres par la durée du parcours exprimée en heures. Sachant que 15 mn = 0,25 h, on obtient :

\(\displaystyle{v = \dfrac{2,6}{0,25} = 10,4}\) km/h

L'unité de vitesse dépend des unités dans lesquelles sont exprimées la distance et la durée. Les unités courantes de vitesse sont le kilomètre par heure (km/h) et le mètre par seconde (m/s).
Pour calculer une distance parcourue connaissant la vitesse et la durée, ou pour calculer une durée de parcours connaissant la vitesse et la distance, on utilise le produit en croix.

Si on se déplace à 50 km/h, on peut calculer la durée de parcours grâce au tableau de proportionnalité suivant.

Distance parcourue (km) 50 250
Durée du parcours (h) 1 ?

\(\displaystyle{?=\dfrac{1\times250}{50}=5}\) heures

Distance parcourue (km) 50 250
Durée du parcours (h) 1 5

Quand la vitesse est constante ou quand on travaille avec une vitesse moyenne, il y a proportionnalité entre la distance parcourue et la durée.

Comme il y a 1000 mètres dans un kilomètre et 3600 secondes dans une heure, si une vitesse est donnée en kilomètres par heure et qu'on souhaite la convertir en mètres par seconde, on la multiplie par \(\displaystyle{\dfrac{1\ 000}{3\ 600}}\) ce qui revient à la diviser par 3,6.

Réciproquement, si la vitesse est donnée en mètres par seconde et qu'on veut la convertir en kilomètres par heure, on la multiplie par 3,6.

Si une voiture roule à 72 km/h, elle roule à 20 m/s.

Si un train se déplace à 50 m/s, il se déplace à 180 km/h.

B

Les pourcentages

Pourcentage

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.

\(\displaystyle{\color{Blue}{6} \% = \dfrac{\color{Blue}{6}}{100}}\)

\(\displaystyle{\color{Blue}{8,9} \% = \dfrac{\color{Blue}{8,9}}{100}}\)

\(\displaystyle{\color{Blue}{31} \% = \dfrac{\color{Blue}{31}}{100}}\)

Les pourcentages permettent de passer par proportionnalité d'une situation réelle à une situation standardisée. Ils sont ainsi utiles pour comparer des proportions.

Dans un groupe de 20 enfants, 5 enfants jouent d'un instrument de musique. On peut construire un tableau dont la première ligne correspond au nombre total d'enfants et la seconde ligne au nombre d'enfants jouant d'un instrument de musique :

Nombre total d'enfants 20
Nombre d'enfants jouant d'un instrument 5

En conservant la même proportion, on souhaite calculer le nombre d'élèves jouant d'un instrument si le groupe était composé de 100 enfants. Il suffit de procéder par produit en croix, en ajoutant une colonne où la case du haut contient la valeur 100 :

Situation réelle Situation standardisée
Nombre total d'enfants 20 100
Nombre d'enfants jouant d'un instrument 5 25

Cela signifie que dans les mêmes proportions, un groupe de 100 enfants comprend 25 enfants jouant d'un instrument. La proportion d'enfants de ce groupe jouant d'un instrument est ainsi égale à 25%.

Pour calculer t% d'un nombre, on multiplie ce nombre par \(\displaystyle{\dfrac{t}{100}}\).

Une chemise coûte 82€. Étienne obtient une remise de 10%.
Il bénéficie donc d'une réduction de \(\displaystyle{10 \% \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0,1 \times 82 = 8,2}\) € sur la chemise.

Certains pourcentages sont à connaître :

Prendre 10% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10.

10% de 156 valent \(\displaystyle{156\div10=15,6}\).

Prendre 25% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4.

25% de 240 valent \(\displaystyle{240\div4=60}\).

Prendre 50% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2.

50% de 10,2 valent \(\displaystyle{10,2\div2=5,1}\).

Augmenter une quantité de t% revient à la multiplier par \(\displaystyle{1+\dfrac{t}{100}}\).

Un village de 2000 personnes voit sa population augmenter de 5%. Pour déterminer le nouveau nombre d'habitants dans le village, on effectue le calcul suivant :

\(\displaystyle{2\ 000\times\left(1+\dfrac{5}{100}\right)=2\ 000\times1,05=2\ 100}\)

Dans le village, il y a désormais 2100 personnes.

Diminuer une quantité de t% revient à la multiplier par \(\displaystyle{1-\dfrac{t}{100}}\).

Une télévision, qui vaut 200€, est soldée à −40%. Pour déterminer le nouveau prix de la télévision, on effectue le calcul suivant :

\(\displaystyle{200\times\left(1-\dfrac{40}{100}\right)=200\times0,6=120}\)

Le prix de la télévision soldée est de 120€.

Augmenter une quantité de 100% revient donc à la multiplier par 2.

Augmenter une quantité de t%, puis diminuer ensuite de t% ne permet pas de revenir à la quantité initiale.

Il y a 100 poissons dans un bocal. Le nombre de poissons augmente de 10%. On calcule le nouveau nombre de poissons :

\(\displaystyle{100\times\left(1+\dfrac{10}{100}\right)=100\times1,1=110}\)

Il y a désormais 110 poissons dans le bocal. Cette quantité diminue de 10%. On calcul de nouveau le nombre de poissons :

\(\displaystyle{110\times\left(1-\dfrac{10}{100}\right)=110\times0,9=99}\)

Après une augmentation de 10% puis une diminution de 10%, il reste 99 poissons dans le bocal. On ne revient donc pas à la valeur d'origine, qui était 100.

Augmenter successivement une quantité de t%, puis de t'% ne revient pas à augmenter la quantité initiale de \(\displaystyle{\left(t+t'\right)}\) %.

C

Les échelles

Échelle

Les dimensions sur un plan (ou une carte) sont proportionnelles aux dimensions réelles. L'échelle d'un plan (ou d'une carte) est le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir les dimensions sur le plan à partir des dimensions réelles.
L'échelle est souvent donnée sous forme fractionnaire. Dans ce cas, on a :

\(\displaystyle{\text{Echelle}=\dfrac{\text{Dimensions sur le plan}}{\text{Dimensions réelles}}}\)

Si une représentation est à l'échelle \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\ 500}}\), cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2500. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2500 cm en réalité.

Les dimensions doivent être exprimées dans les même unités.

Une échelle peut s'écrire \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\ 500}}\) ou \(\displaystyle{1 : 2\ 500}\).