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Calculs numériques

I

Additionner et soustraire des nombres relatifs

  • La somme de deux nombres positifs correspond à la somme déjà connue de ces nombres.
  • La somme de deux nombres négatifs est égale à la somme de leurs opposés précédée d'un signe "-".
  • La somme de deux nombres relatifs de signes différents est égale à la différence de leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0.

\(\displaystyle{5+2=7}\)

\(\displaystyle{\left(-2\right)+\left(-3\right)=-\left(2+3\right)=-5}\)

\(\displaystyle{2+\left(-3\right)=-\left(3-2\right)=-1}\)

La somme de deux nombres opposés est égale à 0.

\(\displaystyle{5+\left(-5\right)=0}\)

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Cela signifie que toute soustraction peut s'écrire comme une addition.

\(\displaystyle{10-7=10+\left(-7\right)=3}\)

Dans une séquence d'additions et soustractions, on peut enlever les parenthèses des nombres relatifs et supprimer leurs signes en suivant la règle :

  • Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un "+".
  • Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un "-".

\(\displaystyle{5+\left(-2\right)-\left(-3\right)+\left(+4\right)=5-2+3+4=10}\)

Pour calculer une séquence d'additions et soustractions, on peut soit procéder de la gauche vers la droite, soit regrouper les termes à additionner et les termes à soustraire.

II

Multiplier et diviser des nombres relatifs

Le produit de deux nombres de même signe est positif.

\(\displaystyle{4 \times 6 = 24}\)

\(\displaystyle{\left(-4\right) \times \left(-6\right) = 24}\)

Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

\(\displaystyle{\left(-4\right) \times 6 = -24}\)

\(\displaystyle{4 \times \left(-6\right) = -24}\)

Pour calculer un produit de plusieurs nombres relatifs, on détermine son signe, puis on multiplie les distances à zéro.

On souhaite calculer le produit suivant :

\(\displaystyle{2,5\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)}\)

Ce produit comporte un terme positif et deux terme négatifs, il est donc positif. On peut le calculer :

\(\displaystyle{2,5\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)=2,5\times1\times2=5}\)

Multiplier un nombre par (−1) revient à prendre son opposé.

\(\displaystyle{\left(-1\right) \times 5 = -5}\)

Une multiplication comportant un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif.

Le calcul suivant comporte deux nombres négatifs, le produit est donc positif :

\(\displaystyle{\left(-3\right) \times 5 \times \left(-4\right) = 60}\)

Une multiplication comportant un nombre impair de facteurs négatifs donne un produit négatif.

Le calcul suivant comporte trois nombres négatifs, le produit est donc négatif :

\(\displaystyle{\left(-2\right) \times \left(-4\right) \times 3 \times \left(-10\right) = -240}\)

Quotient

Soient a et b deux nombres relatifs avec \(\displaystyle{b\neq0}\). Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\times b=a}\)

Le quotient de deux nombres de même signe est positif.

\(\displaystyle{\dfrac{6}{2} = 3}\)

\(\displaystyle{\dfrac{-6}{-2} = 3}\)

Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

\(\displaystyle{\dfrac{-6}{2} = -3}\)

\(\displaystyle{\dfrac{6}{-2} = -3}\)

Pour calculer un quotient de deux nombres relatifs, on détermine son signe, puis on divise les distances à zéro.

Inverse d'un nombre

L'inverse d'un nombre non nul est égal à la division de 1 par ce nombre. L'inverse d'un nombre x se note \(\displaystyle{x^{-1}}\).

\(\displaystyle{\dfrac17}\) est l'inverse de 7.

2 est l'inverse de \(\displaystyle{\dfrac12}\).

Sur la calculatrice pour calculer un inverse on peut utiliser les touches ^−1 ou la touche \(\displaystyle{\dfrac{1}{x}}\).

Pour calculer l'inverse de 4, on tape : 4^−1. Le résultat est alors 0,25, car \(\displaystyle{1\div4=0,25}\).

Il ne faut pas confondre inverse et opposé.

L'inverse de (−6) est \(\displaystyle{\dfrac{-1}{6}}\) alors que l'opposé de (−6) est (+6).

Soient a et b des nombres relatifs avec \(\displaystyle{b\neq0}\). Alors :

\(\displaystyle{\dfrac{-a}{-b}=\dfrac{a}{b}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{-b}=\dfrac{-a}{b}=-\dfrac{a}{b}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{-2}{-5}=\dfrac{2}{5}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}}\)

III

Priorités opératoires

Si un calcul ne comporte que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.

\(\displaystyle{2,5\times4,2\div2=10,5\div2=5,25}\)

Si un calcul ne comporte que des additions ou des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite.

\(\displaystyle{3,2+6,7-8+4,1=9,9-8+4,1=1,9+4,1=6}\)

Dans un calcul écrit sans parenthèses, on effectue dans l'ordre :

  • Les multiplications et les divisions
  • Les additions et les soustractions

\(\displaystyle{3+5\times2-1=3+10-1=12}\)

Même si la multiplication ou la division se trouve après une addition ou soustraction, on doit l'effectuer en priorité s'il n'y a pas de parenthèses.

Les parenthèses servent à indiquer qu'un calcul est prioritaire : il doit donc être effectué en premier.

\(\displaystyle{3\times\left(2+5\right)-4=3\times7-4=21-4=17}\)