Se connecter
ou

Etude de fonctions et fonctions trigonométriques

I

Existence et représentation graphique

A

Le domaine de définition

Domaine de définition

Le domaine de définition \(\displaystyle{D_{f}}\) d'une fonction \(\displaystyle{f}\) est l'ensemble des réels \(\displaystyle{x}\) pour lesquels \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) existe.

L'ensemble de définition de la fonction f d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x^5+5x^3-1}\) est \(\displaystyle{D_f=\mathbb{R}}\).

B

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative \(\displaystyle{C_{f}}\) d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; f\left(x\right)\right)}\), pour tous les réels x du domaine de définition de f.

-
II

Comportement

A

Le sens de variation

Fonction croissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est croissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq f\left(y\right)}\)

-

Fonction décroissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est décroissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq f\left(y\right)}\)

-

Fonction strictement croissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \lt f\left(y\right)}\)

Fonction strictement décroissante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\), et pour tous réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\) de \(\displaystyle{I}\) tels que \(\displaystyle{x \lt y}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \gt f\left(y\right)}\)

Fonction constante

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est constante sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est définie sur \(\displaystyle{I}\) et s'il existe un réel \(\displaystyle{a}\) tel que, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = a}\)

-
B

Signe de la dérivée

Sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si \(\displaystyle{f'}\) est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si \(\displaystyle{f'}\) est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
C

Les extremums

Maximum

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) pour x décrivant I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 2\right]}\).

-

Minimum

Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) pour x décrivant I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 2\right]}\).

-

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors \(\displaystyle{f'\left(a\right) = 0 }\).
  • Si \(\displaystyle{f'}\) s'annule en changeant de signe en a, alors \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) est un extremum local de f.
III

Opérations

A

Opérations et variations

Sens de variation de \(\displaystyle{f+g}\)

Si deux fonctions \(\displaystyle{f}\) et \(\displaystyle{g}\) ont le même sens de variation sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\), la fonction \(\displaystyle{h=f + g}\) possède également le même sens de variation sur \(\displaystyle{I}\).

Les fonctions f et g définies pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\) et \(\displaystyle{g\left(x\right)=x^3}\) sont croissantes sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).

La fonction h définie pour tout réel x par \(\displaystyle{h\left(x\right)=\left(f+g\right)\left(x\right)=x^2+x^3}\) est donc également croissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).

Sens de variation de \(\displaystyle{kf}\) avec \(\displaystyle{k\gt0}\)

Soit k un réel strictement positif. La fonction \(\displaystyle{g=kf}\) possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.

Soit la fonction f définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\). f est croissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).

Soit g la fonction définie pour tout réel x par \(\displaystyle{g\left(x\right)=3f\left(x\right)=3x^2}\). Comme \(\displaystyle{3\gt0}\), la fonction g est également croissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).

Sens de variation de \(\displaystyle{kf}\) avec \(\displaystyle{k\lt0}\)

Soit k un réel strictement négatif. La fonction \(\displaystyle{g=kf}\) possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.

Soit la fonction f définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\). f croissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).

Soit g la fonction définie pour tout réel x par \(\displaystyle{g\left(x\right)=-5f\left(x\right)=-5x^2}\). On a \(\displaystyle{-5 \lt 0}\), donc g est décroissante sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).

Sens de variation de \(\displaystyle{\sqrt u}\)

Soit u une fonction positive sur I.

Les fonctions u et \(\displaystyle{\sqrt u}\) ont le même sens de variation sur I.

La fonction f définie pour tout réel x de \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac1x}\) est positive et décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\).

La fonction g définie pour tout réel x de \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) par \(\displaystyle{g\left(x\right)=\sqrt {\dfrac{1}{x}}}\) est donc décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\).

Sens de variation de \(\displaystyle{\dfrac1u}\)

Soit u une fonction ne s'annulant pas sur \(\displaystyle{I}\).

Les fonctions u et \(\displaystyle{\dfrac1 u}\) ont des sens de variation contraires sur I.

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac53;+\infty\right[}\), à valeurs non nulles dans \(\displaystyle{\left]-\dfrac53;+\infty\right[}\), par \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x+5}\). f est croissante sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac53;+\infty\right[}\).

La fonction g définie sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac53;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{g\left(x\right)=\dfrac{1}{3x+5}}\) est donc décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac53;+\infty\right[}\).

B

Le signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq 0}\)

Une fonction est positive sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses sur I.

La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 2\right]}\).

-

Fonction négative

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est négative sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq0}\)

Une fonction est négative sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses sur I.

La fonction représentée ci-contre est négative sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0 ; 2\right]}\).

-
IV

Les fonctions trigonométriques

A

Propriétés de parité et de périodicité d'une fonction

1

Fonctions paires et impaires : domaine de définition

Fonction paire

Soit f une fonction définie sur I. f est paire si et seulement si :

  • I est centré en 0.
  • Pour tout \(\displaystyle{x\in I}\), \(\displaystyle{f\left(-x\right)=f\left(x\right)}\).

Soit la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

  • \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) est centré en 0.
  • Pour tout réel \(\displaystyle{x\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(-x\right)=\left(-x\right)^2=x^2=f\left(x\right)}\).

La fonction f est donc paire.

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

-
Fonction impaire

Soit f une fonction définie sur I. f est impaire si et seulement si :

  • I est centré en 0.
  • Pour tout \(\displaystyle{x\in I}\), \(\displaystyle{f\left(-x\right)=-f\left(x\right)}\).

Soit la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^3}\).

  • \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) est centré en 0.
  • Pour tout réel \(\displaystyle{x\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(-x\right)=\left(-x\right)^3=-x^3=-f\left(x\right)}\).

La fonction f est donc impaire.

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

-
2

Périodicité d'une fonction

Fonction périodique

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction définie sur \(\displaystyle{I}\). Soit T un réel strictement positif.

f est périodique de période T (ou T-périodique) si et seulement si :

  • Pour tout réel x tel que \(\displaystyle{x\in I}\), on a également \(\displaystyle{x+T\in I}\).
  • Pour tout réel x appartenant à I, \(\displaystyle{f\left(x+T\right)=f\left(x\right)}\).
-

Soit la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\sin\left(x\right)}\).

Pour tout réel x :

  • Pour tout \(\displaystyle{x\in \mathbb{R}}\), on a \(\displaystyle{\left(x+2\pi\right)\in \mathbb{R}}\)
  • \(\displaystyle{f\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x\right)=f\left(x\right)}\)

Donc la fonction f est périodique de période \(\displaystyle{2\pi}\).

B

La fonction sinus

1

Définition

Fonction sinus

La fonction sinus est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \sin\left(x\right)}\)

  • La fonction sinus est impaire.
  • La fonction sinus est périodique de période \(\displaystyle{2\pi }\).
  • Pour tout réel x, \(\displaystyle{-1\leqslant \sin\left(x\right)\leqslant 1}\)
  • La fonction sinus est dérivable et continue sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.
Taux d'accroissement et limite

En reconnaissant le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0 :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{x} = \sin'\left(0\right) = \cos\left(0\right) = 1}\)

2

Sens de variation

Sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{-\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right]}\), les variations de la fonction sinus sont les suivantes :

-
3

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction sinus est la suivante :

-
C

La fonction cosinus

1

Définition

Fonction cosinus

La fonction cosinus est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \cos\left(x\right)}\)

  • La fonction cosinus est paire.
  • La fonction cosinus est périodique de période \(\displaystyle{2\pi }\).
  • Pour tout réel x, \(\displaystyle{-1\leqslant \cos\left(x\right) \leqslant1}\)
  • La fonction cosinus est dérivable et continue sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et la dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de la fonction sinus.
2

Sens de variation

Les variations de la fonction cosinus sur \(\displaystyle{\left[ -\pi;\pi \right]}\) sont les suivantes :

-
3

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction cosinus est la suivante :

-