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La fonction logarithme népérien

I

Les propriétés caractéristiques du logarithme népérien

A

La caractérisation

Logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) et notée \(\displaystyle{\ln}\), est définie pour tout réel x strictement positif par :

\(\displaystyle{\ln\left(x\right) = y \Leftrightarrow x = e^{y}}\)

Pour tout réel x strictement positif, \(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) est l'unique réel a vérifiant \(\displaystyle{\exp\left(a\right)=x}\).

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{\ln\left(e^{x}\right) = x}\)

Pour tout réel x strictement positif :

\(\displaystyle{e^{\ln\left(x\right)} = x}\)

\(\displaystyle{\ln\left(1\right) = 0}\)

B

Le signe

  • \(\displaystyle{\forall x\in\left] 0;1 \right], \ln\left(x\right)\leqslant 0}\)
  • \(\displaystyle{\forall x\in\left[ 1;+\infty \right[, \ln\left(x\right)\geqslant 0}\)

On a le tableau de signes suivant :

-
C

Les propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs x et y :

\(\displaystyle{\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)}\)

\(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(15\right)=\ln\left(3\times 5\right)=\ln\left(3\right)+\ln\left(5\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(\dfrac37\right)=\ln\left(3\right)-\ln\left(7\right)}\)

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

\(\displaystyle{\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(8\right)=\ln\left( 2^3\right)=3\ln\left(2\right)}\)

II

Étude du logarithme népérien

A

Les limites

Limites

Les limites de la fonction logarithme népérien aux bornes de son ensemble de définition sont :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \ln\left(x\right) = - \infty }\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty } \ln\left(x\right) = + \infty }\)

Croissances comparées

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty }\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}= 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0^{+}} x \ln\left(x\right) = 0}\)

Taux d'accroissement

Le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1 étant égal à 1 :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 1}\dfrac{\ln\left(x\right)}{x-1}= 1}\)

En posant le changement de variable \(\displaystyle{x=y+1}\), on a :

\(\displaystyle{\lim_{y \to 0}\dfrac{\ln\left(1+y\right)}{y}= 1}\)

B

La dérivée

Dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable (et donc continue) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\). Pour tout réel x strictement positif :

\(\displaystyle{\ln'\left(x\right) =\dfrac{1}{x}}\)

Dérivée de \(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\)

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La composée \(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

\(\displaystyle{\left(\ln\left(u\right)\right)'\left(x\right) =\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}}\)

Considérons la fonction définie et dérivable sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\ln\left(2x+1\right)}\).

On pose, pour tout réel x de \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\) :

  • \(\displaystyle{u\left(x\right)=2x+1}\)
  • Comme restriction d'une fonction affine à l'intervalle \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\), u est dérivable sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\) et pour tout réel x de \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\), \(\displaystyle{u'\left(x\right)=2}\)

De plus, \(\displaystyle{u\left(x\right)\gt0}\) sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\).

Donc \(\displaystyle{f=\ln\left(u\right)}\) est dérivable sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\) et \(\displaystyle{f'=\dfrac{u'}{u}}\).

Ainsi, pour tout réel x de \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\) :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=\dfrac{2}{2x+1}}\)

C

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\).

-

La droite d’équation \(\displaystyle{y = x - 1}\) est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1 :

-

De plus, les fonctions exponentielle et logarithme népérien étant réciproques, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(\displaystyle{y = x}\).

-
D

Le logarithme décimal

Logarithme décimal

La fonction logarithme décimal, notée \(\displaystyle{\log}\), est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}_{+}^{*}}\) par :

\(\displaystyle{\log\left(x\right) =\dfrac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(10\right)}}\)

  • \(\displaystyle{\log\left(10\right) = 1}\)
  • \(\displaystyle{\log\left(10^n\right) = n}\), pour tout entier relatif n

\(\displaystyle{\log\left(10^5\right)=5}\)