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ou

La fonction logarithme népérien

I

Les propriétés caractéristiques du logarithme népérien

A

La caractérisation

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\) et notée \(\displaystyle{\ln}\), est définie pour tout réel x strictement positif par :

\(\displaystyle{\ln\left(x\right) = y \Leftrightarrow x = e^{y}}\)

Pour tout réel x strictement positif, \(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) est ainsi l'unique solution de l'équation \(\displaystyle{e^y=x}\) d'inconnue y.

  • Pour tout réel x, \(\displaystyle{\ln\left(e^{x}\right) = x}\)
  • Pour tout réel x strictement positif, \(\displaystyle{e^{\ln\left(x\right)} = x}\)
  • \(\displaystyle{\ln\left(1\right) = 0}\)
B

Le signe

-
C

Les propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :

\(\displaystyle{\ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(15\right)=\ln\left(3\times 5\right)=\ln\left(3\right)+\ln\left(5\right)}\)

\(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{1}{4}\right)= - \ln\left(4\right)}\)

\(\displaystyle{\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(\dfrac37\right)=\ln\left(3\right)-\ln\left(7\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(8\right)=\ln\left( 2^3\right)=3\ln\left(2\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)}\)

\(\displaystyle{\ln\left(\sqrt{2}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(2\right)}\)

II

Etude du logarithme népérien

A

La dérivée

Dérivée

La fonction logarithme népérien est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\). Pour tout réel x strictement positif :

\(\displaystyle{\ln'\left(x\right) =\dfrac{1}{x}}\)

Dérivée de \(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\)

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La composée \(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

\(\displaystyle{\left(\ln\left(u\right)\right)'\left(x\right) =\dfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}}\)

Considérons la fonction définie et dérivable sur \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\ln\left(2x+1\right)}\).

On pose, pour tout réel x de \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\) :

  • \(\displaystyle{u\left(x\right)=2x+1}\)
  • \(\displaystyle{u'\left(x\right)=2}\)

On a \(\displaystyle{f=\ln\left(u\right)}\), donc \(\displaystyle{f'=\dfrac{u'}{u}}\). Ainsi, pour tout réel x de \(\displaystyle{\left]-\dfrac12;+\infty\right[}\) :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=\dfrac{2}{2x+1}}\)

B

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+*}}\).

-

La droite d’équation \(\displaystyle{y = x - 1}\) est tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien au point d'abscisse 1.

-

La fonction logarithme népérien est concave.

Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(\displaystyle{y = x}\).

-