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La proportionnalité

I

Situations relevant de la proportionnalité

Grandeurs proportionnelles

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on multiplie toujours par un même nombre non nul les valeurs de l'une pour obtenir les valeurs de l'autre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

Max a acheté 1 croissant pour 1,02€. Pour en acheter 3, il devra payer 3 fois plus cher, c'est-à-dire \(\displaystyle{3 \times 1,02 = 3,06}\) €. Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.

Les situations suivantes relèvent de la proportionnalité :

  • Le prix de cahiers et nombre de cahiers achetés
  • Le poids en fraises et le prix payé
  • Le volume d'eau consommée et le montant en euro de la facture

Les situations suivantes ne relèvent pas de la proportionnalité :

  • Âge et nombre de dents d'un enfant
  • Âge et taille d'un être humain
  • Prix de baguettes et nombre de baguettes achetées dans une boulangerie offrant une 5e baguette pour 4 achetées
II

Propriétés

Dans une situation relevant de la proportionnalité, on peut appliquer la règle de l'addition.

Si 2 poteaux électriques mesurent 15 mètres, alors 4 poteaux ( \(\displaystyle{2 + 2}\) poteaux) mesurent \(\displaystyle{15 + 15 = 30}\) mètres.

Dans une situation relevant de la proportionnalité, on peut également effectuer un passage à l'unité.

S'il faut 150 g de farine pour 6 personnes, alors il faut 25 g de farine (car \(\displaystyle{150\div6=25}\) ) pour une personne et donc 100 g (car \(\displaystyle{4\times25=100}\) ) pour 4 personnes.

Enfin, dans une situation relevant de la proportionnalité, on peut appliquer la règle de la multiplication.

Si 2 chaises coûtent 320€, alors 6 chaises coûtent 960€. (On multiplie les valeurs par 3).

III

Utilisation de tableaux

Tableau et coefficient de proportionnalité

Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité. Par définition, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.

Sachant qu'un croissant coûte 1,02€, voici les prix pour 2, 3, 4, 5 croissants.

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Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant : 1,02.

Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes.
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Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par un nombre.
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Dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du produit en croix.

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On cherche le nombre ? tel que \(\displaystyle{2,04\times? =2 \times 7,14}\), d'où le nom de produit en croix.

\(\displaystyle{ ? = \left(2 \times 7,14\right) \div 2,04 = 7}\)

Pour retrouver la valeur inconnue, on peut aussi diviser par le coefficient de proportionnalité du tableau. Ici, le coefficient de proportionnalité est : \(\displaystyle{2,04\div2=1,02}\). Donc \(\displaystyle{?=7,14\div1,02=7}\).

On appelle également cette règle la "règle de trois".

IV

Les applications de la proportionnalité

A

Les pourcentages

Pourcentage

Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.

\(\displaystyle{\color{Blue}{6} \% = \dfrac{\color{Blue}{6}}{100}}\)

\(\displaystyle{\color{Blue}{8,9} \% = \dfrac{\color{Blue}{8,9}}{100}}\)

\(\displaystyle{\color{Blue}{31} \% = \dfrac{\color{Blue}{31}}{100}}\)

Si une boisson comporte 5% de sucre, cela signifie que dans 100 cl de cette boisson, il y a 5 cl de sucre.

Pour calculer t% d'un nombre, on multiplie ce nombre par \(\displaystyle{\dfrac{t}{100}}\), où \(\displaystyle{\dfrac{t}{100}}\) est le quotient de t par 100.

Une chemise coûte 82€. Étienne obtient une remise de 10%.
Il bénéficie donc d'une réduction de 8,2€ sur la chemise, car \(\displaystyle{10 \% \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0,1 \times 82 = 8,2}\).

Certains pourcentages sont à connaître :

  • Prendre 10% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10 (ou à prendre le dixième).
  • Prendre 25% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4 (ou à prendre le quart).
  • Prendre 50% d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2 (ou à prendre la moitié).

10% de 156 vaut \(\displaystyle{156\div10=15,6}\).

25% de 240 vaut \(\displaystyle{240\div4=60}\).

50% de 10,2 vaut \(\displaystyle{10,2\div2=5,1}\).

B

Les échelles

Échelle

Sur un plan à l'échelle, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. On appelle échelle du plan le quotient d'une longueur sur le plan par la longueur réelle correspondante lorsque ces longueurs sont exprimées dans la même unité.

Par exemple, si une représentation est à l'échelle \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\ 500}}\), cela signifie que toutes les dimensions réelles ont été divisées par 2500 pour obtenir les dimensions sur le plan. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2500 cm en réalité.

Une échelle permet de représenter un objet (ou un lieu) de grande taille sur une feuille, tout en respectant les proportions.

Une échelle peut être inférieure à 1 (cas d'une réduction) ou supérieure à 1 (cas d'un agrandissement).

L'échelle d'un plan est le nombre par lequel on multiplie les grandeurs réelles pour obtenir les grandeurs sur le plan dans la même unité.