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Le calcul littéral

I

Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale revient à l'écrire le plus simplement avec le moins de termes possible.

\(\displaystyle{A = 2a + 4a^2 - a + a^2}\)

Pour réduire l'expression \(\displaystyle{A}\), on regroupe les termes en \(\displaystyle{a}\) et les termes en \(\displaystyle{a^2}\) entre eux :

\(\displaystyle{A = \left(2a - a\right) + \left(4a^2 + a^2\right) = a + 5a^2}\)

En général, on ordonne une expression littérale réduite par puissances croissantes ou décroissantes de la variable. Pour rappel, la variable est la lettre figurant dans l'expression littérale.

\(\displaystyle{B = 3x^2 - x - 1}\)

Soustraire une expression revient à ajouter l'opposé de chacun des termes composant cette expression.

Si \(\displaystyle{B=2x^2+x-5}\) et \(\displaystyle{C=2x-x^2-4}\), on a :

\(\displaystyle{B-C = 2x^2 + x - 5 - \left(2x - x^2 -4\right)}\)

\(\displaystyle{B-C = = 2x^2 + x - 5 \color{Red}{+} \left(\color{Red}{-}2x \color{Red}{+} x^2 \color{Red}{+} 4\right)}\)

\(\displaystyle{B-C = 2x^2 + x - 5 - 2x + x^2 + 4}\)

\(\displaystyle{B-C = = \left(2x^2 + x^2\right) + \left(x - 2x\right) + \left(-5 + 4\right)}\)

\(\displaystyle{B-C = 3x^2 - x - 1}\)

Pour supprimer une parenthèse précédée d'un signe − on réécrit tous les termes dans la parenthèse en changeant leurs signes.

II

La distributivité

A

La simple distributivité

La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction :

\(\displaystyle{a \left(b+c\right) = ab + ac}\)

\(\displaystyle{a \left(b-c\right) = ab - ac}\)

\(\displaystyle{A = 5\left(2 + x\right)=5\times2+5x=10+5x}\)

\(\displaystyle{B=7\left(y-5\right)=7y-7\times5=7y-35}\)

Développer une expression

Développer une expression signifie passer d'un produit à une somme de produits :

\(\displaystyle{a \left(b+c\right) \xrightarrow{\text{développement}} ab + ac}\)

Factoriser une expression

Factoriser une expression signifie passer d'une somme de produits à un produit :

\(\displaystyle{ab + ac \xrightarrow{\text{factorisation}} a \left(b+c\right)}\)

\(\displaystyle{C = 6b + 12=6b+6\times2=6\left(b+2\right)}\).

B

La double distributivité

Pour développer le produit de deux sommes, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde et on ajoute tous les produits :

-
\(\displaystyle{C = \left(4 - x\right) \left(2x + 3\right)}\)

\(\displaystyle{C = \left(4 + \left(-x\right)\right) \left(2x + 3\right)}\)

\(\displaystyle{C = 4 \times 2x + 4 \times 3 + \left(-x\right) \times 2x + \left(-x\right) \times 3}\)

\(\displaystyle{C = 8x + 12 + \left(-2x^2\right) + \left(-3x\right)}\)

\(\displaystyle{C = 8x + 12 - 2x^2 - 3x}\)

\(\displaystyle{C = - 2x^2 + \left(8x - 3x\right) + 12}\)

\(\displaystyle{C = - 2x^2 + 5x + 12}\)