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Les aires

I

Les aires et les unités d'aire

A

L'aire d'une figure

Aire d'une figure

L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, dans une unité d'aire donnée.

-

On prend pour unité d'aire l'aire du carré rouge. On peut alors calculer l'aire de la surface bleue : elle est de 13 unités d'aire.

Ne pas confondre aire et périmètre. Certaines figures ont le même périmètre mais des aires différentes, et inversement.
-

La figure 1 a un périmètre égal à 10 alors que, pour la figure 2, celui-ci vaut environ 10,5. Pourtant, l'aire est la même pour chaque figure : 4 carreaux.

B

Les unités permettant d'exprimer les aires

L'aire se mesure en général en mètre carré (m2). Un mètre carré correspond à l'aire d'un carré d'un mètre de côté.

Suivant les cas, on utilise les unités multiples (ou sous-multiples) du mètre carré :

  • Le kilomètre carré (km2) est égal à 1 000 000 mètres carrés.
  • L'hectomètre carré (hm2) est égal à 10 000 mètres carrés.
  • Le décamètre carré (dam2) est égal à 100 mètres carrés.
  • Le décimètre carré (dm2) est égal à 0,01 mètre carré.
  • Le centimètre carré (cm2) est égal à 0,0001 mètre carré.
  • Le millimètre carré (mm2) est égal à 0,000001 mètre carré.

5 dam² = 500 m²

7 cm² = 0,0007 m²

Les conversions entre les différents multiples du mètre carré se font à l'aide d'un tableau de conversion :

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 0 0 0 1 4 5

145 m2 = 0,000145 km2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
2 5 0 0 1 0 0 0 0

25 001 m2 = 2 510 000 cm2

Contrairement au tableau de conversion des multiples du mètre, ce tableau comporte deux colonnes par unité.
II

Les aires des figures usuelles

A

L'aire d'un carré

L'aire d'un carré de côté c est égale à :

\(\displaystyle{\mathcal{A} = c\times c}\)

-

L'aire de ce carré est égale à \(\displaystyle{5 \times 5 = 25}\) cm2.

B

L'aire d'un rectangle

L'aire d'un rectangle de longueur \(\displaystyle{L}\) et de largeur \(\displaystyle{\ell}\) est égale à :

\(\displaystyle{\mathcal{A} = L \times \ell}\)

-

L'aire de ce rectangle est égale à \(\displaystyle{3 \times 5 = 15}\) cm2.

C

L'aire d'un triangle

Hauteur

On appelle hauteur issue du sommet A dans un triangle ABC la droite passant par A et perpendiculaire à la droite \(\displaystyle{\left( BC \right)}\). On parle également de la hauteur relative au côté \(\displaystyle{\left[ BC\right]}\).

-

La droite \(\displaystyle{\left( AH \right)}\) est la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.

-

La droite \(\displaystyle{\left( AH \right)}\) est la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.

Pied de la hauteur

On appelle pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC le point H, intersection de la hauteur issue de A et de la droite \(\displaystyle{\left( BC\right)}\).

L'aire d'un triangle dont un des côtés a pour longueur b et pour hauteur correspondante h est égale à :

\(\displaystyle{A=\dfrac{b\times h}{2}}\)

-

Dans le triangle ci-dessus, si l'on choisit \(\displaystyle{\left[ BC \right]}\) comme base, alors la hauteur correspondante est \(\displaystyle{\left[ AH \right]}\). L'aire du triangle ABC vaut donc :

\(\displaystyle{A=\dfrac{BC\times AH}{2}}\)

\(\displaystyle{A=\dfrac{8\times 3}{2}}\)

\(\displaystyle{A=12}\) cm2

Dans le cas d'un triangle rectangle, la hauteur relative à un côté de l'angle droit est l'autre côté de l'angle droit.

-

L'aire de ce triangle rectangle est égale à :

\(\displaystyle{\left(3 \times 5\right) \div 2 = 15 \div 2 = 7,5}\) cm2

D

L'aire d'un disque

L'aire d'un disque de rayon \(\displaystyle{r}\) est égale à :

\(\displaystyle{\mathcal{A} = r \times r \times \pi }\)

-

L'aire de ce disque est égale à \(\displaystyle{3 \times 3 \times \pi = 9 \times \pi }\) cm2.