Sommaire
ILes diviseursALes diviseurs d'un entierBLes nombres premiersCLes diviseurs communs à deux nombresDLe PGCD et les fractions irréductiblesIILes multiplesALes multiples d'un entierBLes multiples communs à deux nombresCLe PPCM et le plus petit dénominateur communLes diviseurs
Les diviseurs d'un entier
Diviseur d'un entier
Soient a et b deux entiers.
Le nombre b est un diviseur de a signifie que a est divisible par b, c'est-à-dire que le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
3 est un diviseur de 6, car : 6 = 3 \times 2+0
En appelant q le quotient de la division euclidienne, on a alors la relation a = bq .
8 est un diviseur de 24 car 24=8\times3.
Les nombres premiers
Nombre premier
Un nombre premier est un nombre entier différent de 1 qui n'est divisible que par 1 et lui-même.
3 est premier car il n'est divisible que par 1 et par lui-même.
6 n'est pas premier car il est divisible par 1 ; 2 ; 3 et 6.
La liste des nombres premiers commence par les nombres suivants : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout nombre entier peut s'écrire de manière unique comme une décomposition en produit de facteurs premiers.
La décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 45 est :
45 = 3^2 \times 5
En effet, les nombres 5 et 3 sont premiers.
Les diviseurs communs à deux nombres
Diviseur commun
Soient a, b et d trois entiers.
Le nombre d est un diviseur commun à a et à b s'il est un diviseur de a et de b.
On recherche les diviseurs communs à 12 et 30.
- Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Les diviseurs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Les diviseurs communs à 12 et 30 sont donc les nombres : 1, 2, 3 et 6.
- Si d est un diviseur commun à a et b, avec a\lt b, alors d est un diviseur de b - a.
- Si d est un diviseur commun à a et b, avec a\gt b, alors d est un diviseur de a - b.
9 est un diviseur commun de 18 et 45.
La différence de 45 et 18 donne :
45 - 18 = 27
Ainsi, le nombre 27 est divisible par 9.
Si d est un diviseur commun à a et b (avec a \gt b ), alors d est un diviseur du reste de la division euclidienne de a par b.
9 est un diviseur commun de 18 et 45.
La division euclidienne de 45 par 18 donne :
45=18\times2+9
Le reste est 9, qui est divisible par 9.
Le PGCD et les fractions irréductibles
Plus grand diviseur commun
Le plus grand diviseur commun à a et b est noté PGCD (a ; b).
PGCD (12 ; 30) = 6
Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Les diviseurs de 19 sont 1 et 19.
Les diviseurs de 25 sont 1, 5 et 25.
On a PGCD (19 ; 25) = 1
19 et 25 sont donc premiers entre eux.
Il ne faut pas confondre nombres premiers et nombres premiers entre eux. Deux nombres peuvent être premiers entre eux sans être premiers. Cependant, deux nombres premiers seront premiers entre eux.
Fraction irréductible
Une fraction est irréductible quand le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.
La fraction \dfrac{15}{28} est irréductible car 15 et 28 sont premiers entre eux.
\dfrac{210}{270}=\dfrac{\textcolor{Red}{10}\times7\times\textcolor{Red}{3}}{\textcolor{Red}{10}\times\textcolor{Red}{3}\times9}=\dfrac{7}{9}
Les multiples
Les multiples d'un entier
Multiple d'un entier
Soient a et b deux entiers.
Le nombre a est un multiple de b signifie que b est un diviseur de a.
6 est un multiple de 3, car 3 est un diviseur de 6.
Par exemple les multiples de 7 sont : 0, 7, 14, 21, 28, 35, etc.
Les multiples communs à deux nombres
Multiple commun
Soient a, b et m trois entiers.
Le nombre m est un multiple commun à a et à b s'il est divisible par a et par b.
On recherche des multiples communs à 4 et 14.
- Les premiers multiples de 4 sont : 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, etc.
- Les premiers multiples de 14 sont : 0, 14, 28, 42, etc.
Les nombres 0 et 28 sont des multiples communs à 4 et 14.
Le PPCM et le plus petit dénominateur commun
Plus petit multiple commun
Le plus petit multiple commun non nul à a et b est noté PPCM (a ; b).
PPCM (4 ; 14) = 28
Le PPCM est utile pour additionner ou soustraire deux fractions qui n'ont pas le même dénominateur, puisqu'il permet de déterminer leur plus petit dénominateur commun.
Pour effectuer la somme de fractions suivante \dfrac{3}{18}+\dfrac{7}{45}, il faut trouver le PPCM de 18 et 45 pour réduire les fractions au dénominateur.
- Les multiples de 18 sont : 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, etc.
- Les multiples de 45 sont : 0, 45, 90, 135, etc.
Donc PPCM (18 ; 45) = 90.
Ainsi :
\dfrac{3}{18}+\dfrac{7}{45}=\dfrac{3\times5}{18\times5}+\dfrac{7\times2}{45\times2}=\dfrac{15}{90}+\dfrac{14}{90}=\dfrac{29}{90}