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Les équations

I

Les équations du premier degré à une inconnue

Équation

Une équation est une égalité contenant au moins un nombre inconnu, le plus souvent représenté par une lettre.

L'égalité suivante est une équation d'inconnue x :

\(\displaystyle{14x-9=8+21x}\)

Solution d'une équation

Un nombre est solution d'une équation si, lorsque l'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité est vérifiée.

Considérons l'équation : \(\displaystyle{11 - x = 3x + 23}\).

2 est-il solution de cette équation ? Non, car : \(\displaystyle{\underbrace{11 - 2}_{9} \neq \underbrace{3 \times 2 + 23}_{29}}\).

−3 est-il solution de cette équation ? Oui, car : \(\displaystyle{\underbrace{11 - \left(-3\right)}_{14} = \underbrace{3 \times \left(-3\right) + 23}_{14}}\).

II

Tests d'égalité

Pour tester si un nombre est solution d'une équation d'inconnue x :

  • On calcule le membre de gauche en remplaçant x par cette valeur.
  • On calcule le membre de droite en remplaçant x par cette valeur.
  • On observe si les deux membres sont égaux ou non et on conclut.

Testons si le nombre 5 est solution de l'équation \(\displaystyle{3x-1=7-x}\).

On calcule l'expression du membre de gauche en remplaçant x par 5 :

\(\displaystyle{3\times5-1=15-1=14}\)

On calcule l'expression du membre de droite en remplaçant x par 5 :

\(\displaystyle{7-5=2}\)

\(\displaystyle{14\neq2}\), donc 5 n'est pas solution de l'équation.

III

Résoudre une équation

Résoudre une équation revient à déterminer toutes ses solutions.

L'équation \(\displaystyle{x + 8 = 12}\) a pour unique solution 4.

L'équation \(\displaystyle{0x=12}\) n'a pas de solution.

Équation du premier degré

On appelle équation du premier degré à une inconnue, x, toute équation qui peut se ramener (quitte à développer et réduire) à une équation du type :

\(\displaystyle{ax+b=cx+d}\)

Avec \(\displaystyle{a\neq0}\) ou \(\displaystyle{c\neq0}\).

Si \(\displaystyle{a \neq 0}\), l'équation \(\displaystyle{ax = b}\) admet une solution :

\(\displaystyle{x = \dfrac{b}{a}}\)

L'équation \(\displaystyle{5x = 20}\) admet pour unique solution :

\(\displaystyle{x = \dfrac{20}{5} = 4}\)

  • Une égalité reste vraie quand on multiplie (ou on divise) par un même nombre non nul les deux membres de l'égalité.
  • Une égalité reste vraie quand on ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres de l'égalité.

On utilise ces deux règles pour résoudre les équations du premier degré à une inconnue.

On cherche à résoudre l'équation suivante :

\(\displaystyle{\left(E\right):3x-1=7-x}\)

On utilise les deux propriétés précédentes :

\(\displaystyle{3x-1\color{Red}{+x}=7-x\color{Red}{+x}}\)

\(\displaystyle{4x-1=7}\)

\(\displaystyle{4x-1\color{Red}{+1}=7\color{Red}{+1}}\)

\(\displaystyle{4x=8}\)

\(\displaystyle{\dfrac{4}{\color{Red}{4}}x=\dfrac{8}{\color{Red}{4}}}\)

\(\displaystyle{x=2}\)

Avant de conclure, on effectue une vérification :

  • Pour \(\displaystyle{x=2}\) : \(\displaystyle{3x-1=3\times2-1=6-1=5}\)
  • Pour \(\displaystyle{x=2}\) : \(\displaystyle{7-x=7-2=5}\)

On en conclut que l'équation \(\displaystyle{\left(E\right)}\) admet une unique solution, le nombre 2.

Les équations du premier degré à une inconnue ont soit 0, soit 1, soit une infinité de solutions.

L'équation \(\displaystyle{2x + 3 = 2x + 1}\) n'admet aucune solution.

L'équation \(\displaystyle{2x + 3 = x - 1}\) admet une unique solution.

L'équation \(\displaystyle{2x + 3 = 2x + 3}\) a une infinité de solutions : elle est vérifiée pour n'importe quelle valeur de x.