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Les équations et les inéquations

I

Résoudre une équation

A

Les équations de la forme \(\displaystyle{ax = b}\)

Equation de la forme \(\displaystyle{ax=b}\)

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres connus, avec \(\displaystyle{a}\) différent de 0.
L'équation \(\displaystyle{ax = b}\), d'inconnue \(\displaystyle{x}\), admet une unique solution :

\(\displaystyle{x =\dfrac{b}{a}}\)

L'équation \(\displaystyle{7x=15}\) admet pour unique solution \(\displaystyle{x=\dfrac{15}{7}}\).

Il est souvent nécessaire de transformer l'expression d'une équation pour aboutir à la forme \(\displaystyle{ax = b}\).

\(\displaystyle{8x+6=-5x+26}\)

\(\displaystyle{8x+5x=26-6}\)

\(\displaystyle{13x=20}\)

\(\displaystyle{x=\dfrac{20}{13}}\)

La solution de l'équation est \(\displaystyle{\dfrac{20}{13}}\).

Les transformations suivantes permettent d'aboutir à la forme souhaitée sans altérer les solutions de l'équation :

  • Développer
  • Réduire
  • Factoriser
  • Ajouter ou soustraire une même expression à droite et à gauche
  • Multiplier ou diviser à droite et à gauche par un même nombre non nul

Soit l'équation suivante :

\(\displaystyle{-3\left(2x-6\right)+12=-6-4\left(x+1\right)}\)

On développe chaque membre :

\(\displaystyle{-6x+18+12=-6-4x-4}\)

On regroupe les termes contenant \(\displaystyle{x}\) dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite. Pour cela, dans chaque membre, on effectue les opérations suivantes : on ajoute \(\displaystyle{4x}\), on soustrait 18 et 12. On obtient ainsi :

\(\displaystyle{-6x+4x=-6-4-18-12}\)

On réduit chaque membre.

\(\displaystyle{-2x=-40}\)

On divise chaque membre par −2.

\(\displaystyle{x=\dfrac{-40}{-2}}\)

\(\displaystyle{x=20}\)

La solution de l'équation est 20.

B

Produit de facteurs égal à zéro

Produit de facteurs égal à zéro

Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.

Considérons l'équation suivante :

\(\displaystyle{\left(2x-1\right)\left(x+5\right)=0}\).

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul. Ainsi on a :

\(\displaystyle{2x-1=0}\) ou \(\displaystyle{x+5=0}\).

C'est-à-dire :

\(\displaystyle{x=\dfrac12}\) ou \(\displaystyle{x=-5}\).

Conclusion :

Les solutions de l'équation sont \(\displaystyle{\dfrac12}\) et −5.

Pour résoudre certaines équations du second degré, on factorise de manière à se ramener à un produit de facteurs égal à zéro.

On veut résoudre l'équation :

\(\displaystyle{\left(x + 1\right)^{2} - 4 = 0}\)

\(\displaystyle{\left(x + 1\right)^{2} - 2^{2} = 0}\)

On factorise le membre de gauche à l'aide de l'identité remarquable \(\displaystyle{a^{2} - b^{2} = \left(a + b\right) \left(a - b\right)}\) :

\(\displaystyle{\left(x + 1 + 2\right) \left(x + 1 - 2\right) = 0}\)

\(\displaystyle{\left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = 0}\)

Le membre de gauche est nul si :

\(\displaystyle{x + 3 = 0}\) ou \(\displaystyle{x - 1 = 0}\)

C'est-à-dire si :

\(\displaystyle{x = - 3}\) ou \(\displaystyle{x = 1}\)

Les solutions de l'équation sont donc : −3 et 1.

C

Les équations de la forme \(\displaystyle{x^{2} = a}\)

Equation de la forme \(\displaystyle{x^2=a}\)

Soit \(\displaystyle{a}\) un nombre connu.
L'équation \(\displaystyle{x^{2} = a}\) , d'inconnue \(\displaystyle{x}\), admet :

  • deux solutions si \(\displaystyle{a \gt 0}\) : \(\displaystyle{\sqrt{a}}\) et \(\displaystyle{- \sqrt{a}}\)
  • une solution si \(\displaystyle{a = 0}\) : \(\displaystyle{0}\)
  • aucune solution si \(\displaystyle{a \lt 0}\).

L'équation \(\displaystyle{x^2=81}\) a pour solutions \(\displaystyle{x=\sqrt{81}=9}\) et \(\displaystyle{x=-\sqrt{81}=-9}\).

L'équation \(\displaystyle{x^2=-12}\) n'a pas de solution car −12 < 0.

Il est possible, lorsque \(\displaystyle{a\geq0}\), de ramener l'équation \(\displaystyle{x^2=a}\) à une équation mise sous la forme de produit égal à 0.

On considère l'équation :

\(\displaystyle{x^2=81}\)

On soustrait 81 à chaque membre :

\(\displaystyle{x^2-81=0}\)

\(\displaystyle{x^2-9^2=0}\)

On factorise le membre de gauche en utilisant l'identité remarquable \(\displaystyle{a^{2} - b^{2} = \left(a - b\right) \left(a + b\right)}\) :

\(\displaystyle{\left(x-9\right)\left(x+9\right)=0}\)

Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul, donc :

\(\displaystyle{x-9=0}\) ou \(\displaystyle{x+9=0}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{x=9}\) ou \(\displaystyle{x=-9}\)

Les solutions de l'équation sont donc : 9 et −9.

II

Résoudre une inéquation

A

Résolution et intervalles solutions

Intervalle solution

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux nombres connus, avec \(\displaystyle{a}\) différent de 0.
Les inéquations du premier degré \(\displaystyle{ax \gt b}\), \(\displaystyle{ax \geq b}\), \(\displaystyle{ax \lt b}\), \(\displaystyle{ax \leq b}\), d'inconnue \(\displaystyle{x}\), admettent une infinité de solutions. On parle d'intervalle solution.

Considérons l'inéquation \(\displaystyle{3x\gt8}\). Tous les nombres strictement supérieurs à \(\displaystyle{\dfrac83}\) sont solutions.

Afin d'obtenir la forme souhaitée sans altérer les solutions de l'inéquation, on utilise les mêmes transformations que pour les équations. Le sens de l'inéquation n'est pas modifié dans les cas suivants :

  • Si on développe, on factorise ou on réduit une expression.
  • Si on ajoute, ou soustrait, un même nombre à chaque membre de l'inégalité.
  • Si on multiplie, ou divise, par un même nombre positif, non nul, chaque membre de l'inégalité.

On souhaite résoudre, l'inéquation :

\(\displaystyle{4\left(3x+3\right)\leq2\left(8+x\right)}\)

On développe chaque membre :

\(\displaystyle{12x+12\leq16+2x}\)

On regroupe les termes contenant x dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite. Pour cela, dans chaque membre, on effectue les opérations suivantes : on soustrait 12 et 2x. On obtient ainsi :

\(\displaystyle{12x-2x\leq16-12}\)

On réduit chaque membre :

\(\displaystyle{10x\leq4}\)

On divise chaque membre par 10, qui est positif. Le sens de l'inégalité n'est pas modifié :

\(\displaystyle{x\leq\dfrac{4}{10}}\)

On simplifie la fraction :

\(\displaystyle{x\leq\dfrac{2}{5}}\)

Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à \(\displaystyle{\dfrac25}\).

  • Lorsque l'on soustrait un nombre à chaque membre d'une inéquation, cela revient à ajouter l'opposé. Donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
  • Lorsque l'on divise par un nombre positif, non nul, chaque membre d'une inéquation, cela revient à multiplier par l'inverse, positif. Donc on ne change pas le sens de l'inégalité.

Considérons l'inéquation :

\(\displaystyle{8x+13\gt37}\)

On soustrait 13 à chaque membre :

\(\displaystyle{8x+13\color{Red}{-13}\gt37\color{Red}{-13}}\)

Ce qui équivaut à :

\(\displaystyle{8x+13\color{Red}{+\left(-13\right)}\gt37\color{Red}{+\left(-13\right)}}\)

On réduit :

\(\displaystyle{8x\gt24}\)

On divise chaque membre par 8, qui est positif :

\(\displaystyle{\dfrac{8x}{\color{Blue}{8}}\gt\dfrac{24}{\color{Blue}{8}}}\)

Ce qui équivaut à :

\(\displaystyle{8x\color{Blue}{\times\dfrac18\gt}24\color{Blue}{\times\dfrac18}}\)

On réduit chaque membre :

\(\displaystyle{x\gt3}\)

Les solutions de l'inéquation sont donc tous les nombres strictement supérieurs à 3.

Dans le cas de la multiplication ou de la division des deux membres de l'inéquation par un même nombre négatif non nul, le signe de l'inégalité change de sens :

  • \(\displaystyle{\lt }\) devient \(\displaystyle{\gt}\), et inversement ;
  • \(\displaystyle{\leq}\) devient \(\displaystyle{\geq}\), et inversement.

On veut résoudre l'inéquation : \(\displaystyle{- 2x + 1 \lt 5}\)

On isole le terme en x à gauche et les nombres connus à droite :

\(\displaystyle{- 2x \lt 5 - 1}\)

On réduit le membre de droite :

\(\displaystyle{- 2x \lt 4}\)

On divise les deux membres par \(\displaystyle{- 2}\), en changeant le sens de l'inégalité :

\(\displaystyle{x \gt -\dfrac{4}{2}}\)

On obtient finalement :

\(\displaystyle{x \gt - 2}\)

Les solutions de cette inéquation sont donc tous les nombres strictement plus grand que −2.

B

Représentation graphique des solutions sur un axe

Soit \(\displaystyle{a}\) un nombre connu.
On peut représenter un intervalle solution sur un axe gradué :

  • On utilise un crochet orienté vers l'intérieur pour signifier que le nombre a est inclus dans les solutions.
  • On utilise un crochet orienté vers l'extérieur pour signifier que le nombre a est exclu des solutions.

Ici, l'intervalle solution est en bleu.

\(\displaystyle{x \geq a}\)

-

\(\displaystyle{x \gt a}\)

-

\(\displaystyle{x \leq a}\)

-

\(\displaystyle{x \lt a}\)

-