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Les équations et les inéquations

Équation et inéquation

Une (in)équation est une (in)égalité entre deux expressions comportant des lettres représentant des nombres inconnus.

\(\displaystyle{3x+1=2x-4}\) est une équation.

  • Différentes lettres représentent des nombres a priori différents.
  • Une même lettre écrite à plusieurs endroits représente le même nombre.

Résoudre une (in)équation, c'est déterminer toutes les valeurs de l'inconnue (ou des inconnues) pour lesquelles l'(in)égalité est vérifiée. Chacune de ces valeurs est appelée solution de l'(in)équation.

I

Résolution d'équations du premier degré

  • Une égalité reste vraie si on ajoute (ou on soustrait) le même nombre aux deux membres de l'égalité.
  • Une égalité reste vraie si on multiplie (ou on divise) par un même nombre (non nul dans le cas d'une division) les deux membres de l'égalité.

On suppose que l'on a :

\(\displaystyle{3x+1=x-4}\)

On peut ajouter 2 aux deux membres de l'égalité :

\(\displaystyle{3x+1\color{Red}{+2}=x-4\color{Red}{+2}}\)

Soit :

\(\displaystyle{3x+3=x-2}\)

On peut également multiplier les deux membres de l'égalité par 4 :

\(\displaystyle{\color{Red}{4}\times\left(3x+3\right)=\color{Red}{4}\times\left(x-2\right)}\)

Soient a et b deux nombres connus, avec \(\displaystyle{a\neq0}\). L'équation \(\displaystyle{ax=b}\) d'inconnue x admet une unique solution :

\(\displaystyle{x =\dfrac{b}{a}}\)

L'équation \(\displaystyle{7x=15}\) admet pour unique solution \(\displaystyle{x=\dfrac{15}{7}}\).

Équation du premier degré

On appelle équation du premier degré à une inconnue toute équation pouvant se ramener à une équation du type \(\displaystyle{ax=b}\), où x est l'inconnue.

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue x , on se ramène à une équation du type \(\displaystyle{ax=b}\), puis on utilise la dernière propriété pour conclure.

\(\displaystyle{8x+6=-5x+26}\)

\(\displaystyle{8x+5x=26-6}\)

\(\displaystyle{13x=20}\)

\(\displaystyle{x=\dfrac{20}{13}}\)

La solution de l'équation est \(\displaystyle{\dfrac{20}{13}}\).

Il est parfois utile de développer l'expression d'au moins un des membres de l'égalité pour se ramener à une équation du type \(\displaystyle{ax=b}\).

Soit l'équation suivante :

\(\displaystyle{-3\left(2x-6\right)+12=-6-4\left(x+1\right)}\)

On développe chaque membre :

\(\displaystyle{-6x+18+12=-6-4x-4}\)

On regroupe les termes contenant x dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite. Pour cela, dans chaque membre, on effectue les opérations suivantes : on ajoute \(\displaystyle{4x}\), on soustrait 18 et 12. On obtient ainsi :

\(\displaystyle{-6x+4x=-6-4-18-12}\)

On réduit chaque membre.

\(\displaystyle{-2x=-40}\)

On divise chaque membre par −2.

\(\displaystyle{x=\dfrac{-40}{-2}}\)

\(\displaystyle{x=20}\)

La solution de l'équation est 20.

On peut modéliser une situation relevant d'une équation :

  • On choisit l'inconnue x en fonction de ce que l'on recherche.
  • On traduit les données de l'énoncé par une équation.
  • On résout l'équation.
  • On interprète le résultat.

Le père de Paul a le double de l'âge de Paul, et 3 ans de plus que la mère de Paul. On sait que la somme des âges des parents de Paul fait 123 ans. Quel est l'âge de Paul ?

On appelle x l'âge de Paul. D'après l'énoncé :

  • L'âge du père de Paul est \(\displaystyle{2x}\).
  • L'âge de la mère de Paul est \(\displaystyle{2x-3}\).
  • La somme des âges des parents de Paul fait 123 ans : \(\displaystyle{2x+\left(2x-3\right)=123}\)

On résout cette équation du premier degré :

\(\displaystyle{2x+\left(2x-3\right)=123}\)

\(\displaystyle{4x-3=123}\)

\(\displaystyle{4x=126}\)

\(\displaystyle{x=\dfrac{126}{4}=31,5}\)

Paul a 31,5 ans.

II

Résolution d'équations produits nuls

A

Produit de facteurs égal à 0

Équation produit

On appelle équation produit nul toute équation écrite sous la forme d'un produit d'expressions égal à 0.

Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul.

Considérons l'équation suivante :

\(\displaystyle{\left(2x-1\right)\left(x+5\right)=0}\).

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul. Ainsi on a :

\(\displaystyle{2x-1=0}\) ou \(\displaystyle{x+5=0}\).

C'est-à-dire :

\(\displaystyle{x=\dfrac12}\) ou \(\displaystyle{x=-5}\).

Conclusion :

Les solutions de l'équation sont \(\displaystyle{\dfrac12}\) et −5.

En factorisant (notamment à l'aide des identités remarquables), certaines équations peuvent se ramener à une équation produit.

On veut résoudre l'équation :

\(\displaystyle{\left(x + 1\right)^{2} - 4 = 0}\)

\(\displaystyle{\left(x + 1\right)^{2} - 2^{2} = 0}\)

On factorise le membre de gauche à l'aide de l'identité remarquable \(\displaystyle{a^{2} - b^{2} = \left(a + b\right) \left(a - b\right)}\) :

\(\displaystyle{\left(x + 1 + 2\right) \left(x + 1 - 2\right) = 0}\)

\(\displaystyle{\left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = 0}\)

Le membre de gauche est nul si :

\(\displaystyle{x + 3 = 0}\) ou \(\displaystyle{x - 1 = 0}\)

C'est-à-dire si :

\(\displaystyle{x = - 3}\) ou \(\displaystyle{x = 1}\)

Les solutions de l'équation sont donc : −3 et 1.

B

Les équations de la forme \(\displaystyle{x^{2} = a}\)

Soit a un nombre. L'équation \(\displaystyle{x^{2} = a}\) , d'inconnue x, admet :

  • Deux solutions \(\displaystyle{x=\sqrt{a}}\) et \(\displaystyle{x=-\sqrt{a}}\) si \(\displaystyle{a \gt 0}\)
  • Une solution \(\displaystyle{x=0}\) si \(\displaystyle{a = 0}\)
  • Aucune solution si \(\displaystyle{a \lt 0}\)

L'équation \(\displaystyle{x^2=81}\) a pour solutions \(\displaystyle{x=\sqrt{81}=9}\) et \(\displaystyle{x=-\sqrt{81}=-9}\).

L'équation \(\displaystyle{x^2=-12}\) n'a pas de solution car −12 < 0.

Lorsque \(\displaystyle{a\geq0}\), il est possible de ramener une équation du type \(\displaystyle{x^2=a}\) à une équation produit.

On considère l'équation :

\(\displaystyle{x^2=81}\)

On soustrait 81 à chaque membre :

\(\displaystyle{x^2-81=0}\)

\(\displaystyle{x^2-9^2=0}\)

On factorise le membre de gauche en utilisant l'identité remarquable \(\displaystyle{a^{2} - b^{2} = \left(a - b\right) \left(a + b\right)}\) :

\(\displaystyle{\left(x-9\right)\left(x+9\right)=0}\)

Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul, donc :

\(\displaystyle{x-9=0}\) ou \(\displaystyle{x+9=0}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{x=9}\) ou \(\displaystyle{x=-9}\)

Les solutions de l'équation sont donc : 9 et −9.

III

Les inéquations du premier degré à une inconnue

A

Les inégalités

Soient a et b deux nombres.

  • Pour dire que a est supérieur ou égal à b, on note \(\displaystyle{a\geqslant b}\).
  • Pour dire que a est inférieur ou égal à b, on note \(\displaystyle{a\leqslant b}\).
  • Pour dire que a est strictement supérieur à b, on note \(\displaystyle{a\gt b}\).
  • Pour dire que a est strictement inférieur à b, on note \(\displaystyle{a\lt b}\).
B

Opérations sur les inégalités

  • On ne change pas le sens d'une inégalité si on ajoute (ou on soustrait) le même nombre aux deux membres de l'inégalité.
  • On ne change pas le sens d'une inégalité si on multiplie (ou on divise) par un même nombre positif (non nul dans le cas d'une division) les deux membres de l'inégalité.
  • On change le sens d'une inégalité si on multiplie (ou on divise) par un même nombre négatif (non nul dans le cas d'une division) les deux membres de l'inégalité.

On considère l'inégalité suivante :

\(\displaystyle{2x-1\leqslant x+4}\)

On ajoute 1 aux deux membres de l'inégalité, on en modifie donc pas le sens :

\(\displaystyle{2x\leqslant x+5}\)

On multiplie les deux membres de l'inégalité par 3, on ne modifie donc pas le sens :

\(\displaystyle{6x\leqslant 3\left(x+5\right)}\)

En revanche, si on multiplie par −1 qui est négatif, on change le sens de l'inégalité :

\(\displaystyle{-6x\geqslant -3\left(x+5\right)}\)

C

Inéquations et résolution

Soient a et b deux nombres connus, avec a différent de 0.

Cas 1

Si \(\displaystyle{a\gt0}\)

  • L'inéquation \(\displaystyle{ax\lt b}\) d'inconnue x admet pour ensemble de solutions l'ensemble des nombres x tels que \(\displaystyle{x\lt\dfrac{b}{a}}\).
  • L'inéquation \(\displaystyle{ax\gt b}\) d'inconnue x admet pour ensemble de solutions l'ensemble des nombres x tels que \(\displaystyle{x\gt\dfrac{b}{a}}\).
  • L'inéquation \(\displaystyle{ax\leqslant b}\) d'inconnue x admet pour ensemble de solutions l'ensemble des nombres a tels que \(\displaystyle{x\leqslant \dfrac{b}{a}}\).
  • L'inéquation \(\displaystyle{ax\geqslant b}\) d'inconnue x admet pour ensemble de solutions l'ensemble des nombres a tels que \(\displaystyle{x\geqslant \dfrac{b}{a}}\).
Cas 2

Si \(\displaystyle{a\lt0}\)

  • L'inéquation \(\displaystyle{ax\lt b}\) d'inconnue x admet pour ensemble de solutions l'ensemble des nombres x tels que \(\displaystyle{x\gt\dfrac{b}{a}}\).
  • L'inéquation \(\displaystyle{ax\gt b}\) d'inconnue x admet pour ensemble de solutions l'ensemble des nombres x tels que \(\displaystyle{x\lt\dfrac{b}{a}}\).
  • L'inéquation \(\displaystyle{ax\leqslant b}\) d'inconnue x admet pour ensemble de solutions l'ensemble des nombres a tels que \(\displaystyle{x\geqslant \dfrac{b}{a}}\).
  • L'inéquation \(\displaystyle{ax\geqslant b}\) d'inconnue x admet pour ensemble de solutions l'ensemble des nombres a tels que \(\displaystyle{x\leqslant \dfrac{b}{a}}\).

On cherche à déterminer les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{3x\geqslant6}\). On sait que \(\displaystyle{3\gt0}\). Ainsi, l'ensemble des solutions de cette inéquation est l'ensemble des réels x tels que \(\displaystyle{x\geqslant\dfrac{6}{3}}\), soit l'ensemble des x tels que \(\displaystyle{x\geqslant2}\).

On cherche à déterminer les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{-2x\geqslant8}\). On sait que \(\displaystyle{-2\lt0}\). Ainsi, l'ensemble des solutions de cette inéquation est l'ensemble des réels x tels que \(\displaystyle{x\leqslant\dfrac{8}{-2}}\), soit l'ensemble des x tels que \(\displaystyle{x\leqslant -4}\).

Inéquation du premier degré à une inconnue

On appelle inéquation du premier degré à une inconnue toute inéquation pouvant se ramener à une inéquation d'inconnue x du type \(\displaystyle{ax\lt b}\) (ou \(\displaystyle{ax\gt b}\), ou \(\displaystyle{ax\leqslant b}\), ou \(\displaystyle{ax\geqslant b}\) ).

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue x, on se ramène à une inéquation du type \(\displaystyle{ax\lt b}\) (ou \(\displaystyle{ax\gt b}\), ou \(\displaystyle{ax\leqslant b}\), ou \(\displaystyle{ax\leqslant b}\) ), puis on utilise la dernière propriété pour conclure.
Il est parfois utile de développer l'expression d'au moins un des membres de l'égalité pour se ramener à une inéquation de ce type.

On souhaite résoudre l'inéquation :

\(\displaystyle{4\left(3x+3\right)\leq2\left(8+x\right)}\)

On développe chaque membre :

\(\displaystyle{12x+12\leq16+2x}\)

On regroupe les termes contenant x dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite. Pour cela, dans chaque membre, on effectue les opérations suivantes : on soustrait 12 et 2x. On obtient ainsi :

\(\displaystyle{12x-2x\leq16-12}\)

On réduit chaque membre :

\(\displaystyle{10x\leq4}\)

On divise chaque membre par 10, qui est positif. Le sens de l'inégalité n'est pas modifié :

\(\displaystyle{x\leq\dfrac{4}{10}}\)

On simplifie la fraction :

\(\displaystyle{x\leq\dfrac{2}{5}}\)

Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à \(\displaystyle{\dfrac25}\).

Soit \(\displaystyle{a}\) un nombre connu.
On peut représenter un intervalle solution sur un axe gradué :

  • On utilise un crochet orienté vers l'intérieur pour signifier que le nombre a est inclus dans les solutions.
  • On utilise un crochet orienté vers l'extérieur pour signifier que le nombre a est exclu des solutions.

Ici, l'intervalle solution est en bleu.

\(\displaystyle{x \geq a}\)

-

\(\displaystyle{x \gt a}\)

-

\(\displaystyle{x \leq a}\)

-

\(\displaystyle{x \lt a}\)

-

On considère l'inéquation suivante :

\(\displaystyle{x+3\geqslant2}\)

Les solutions de cette inéquation sont les réels x tels que :

\(\displaystyle{x\geqslant-1}\)

On peut représenter cet intervalle solution sur un axe gradué :

-

Comme pour les équations, on peut modéliser une situation relevant d'une inéquation :

  • On choisit l'inconnue x en fonction de ce que l'on recherche.
  • On traduit les données de l'énoncé par une inéquation.
  • On résout l'inéquation.
  • On interprète le résultat.