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Les inéquations

I

La résolution algébrique d'inéquations

A

Le signe de \(\displaystyle{ax + b}\)

Signe de \(\displaystyle{ax+b}\)

Soient \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux réels, avec \(\displaystyle{a}\) non nul.
Le signe de \(\displaystyle{ax + b}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) dépend du signe de \(\displaystyle{a}\) :

  • si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{ax + b}\) est strictement négatif sur \(\displaystyle{\left]- \infty ; - \dfrac{b}{a}\right[}\) et strictement positif sur \(\displaystyle{\left]- \dfrac{b}{a} ; + \infty \right[}\) ;
  • si \(\displaystyle{a \lt 0}\), \(\displaystyle{ax + b}\) est strictement positif sur \(\displaystyle{\left]- \infty ; - \dfrac{b}{a}\right[}\) et strictement négatif sur \(\displaystyle{\left]- \dfrac{b}{a} ; + \infty \right[}\).

L'expression \(\displaystyle{3x-12}\) est négative sur \(\displaystyle{\left] -\infty;4 \right]}\) et positive sur \(\displaystyle{\left[ 4;+\infty \right[}\).

L'expression \(\displaystyle{-2x-18}\) est positive sur \(\displaystyle{\left] -\infty;-9 \right]}\) et négative sur \(\displaystyle{\left[ -9;+\infty \right[}\).

On peut représenter le signe d'une expression à l'aide d'un tableau de signes :

  • Un signe \(\displaystyle{+}\) signifie que l'expression est positive sur cet intervalle.
  • Un signe \(\displaystyle{-}\) signifie que l'expression est négative sur cet intervalle.
Cas 1

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\)

-

Le tableau de signes de \(\displaystyle{3x-12}\) est :

-
Cas 2

Si \(\displaystyle{a \lt 0}\)

-

Le tableau de signes de \(\displaystyle{-2x-18}\) est :

-
B

Les tableaux de signes

On résout une inéquation ne pouvant se ramener à une inéquation du premier degré en passant tous les termes dans un membre, puis en factorisant (ou réduisant au même dénominateur) de manière à obtenir un produit (ou un quotient) dont on connaît le signe de chacun des facteurs.

Résoudre une inéquation revient à déterminer le signe d'une expression.

On détermine le signe d'un produit de facteurs ou d'un quotient à l'aide d'un tableau de signes, où chaque ligne détaille le signe d'un des facteurs. Le signe de l'expression globale se déduit colonne par colonne :

  • Si le nombre de signes \(\displaystyle{-}\) d'une colonne est pair, l'expression globale est positive sur l'intervalle correspondant.
  • Si le nombre de signes \(\displaystyle{-}\) d'une colonne est impair, l'expression globale est négative sur l'intervalle correspondant.

On se propose de résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation suivante :

\(\displaystyle{\left(3x-12\right)^2\leq\left(-2x+7\right)^2}\)

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{\left(3x-12\right)^2\leq\left(-2x+7\right)^2}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\left(3x-12\right)^2-\left(-2x+7\right)^2\leq0}\)

En reconnaissant l'identité remarquable \(\displaystyle{a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}\), valable pour tous les réels a et b :

\(\displaystyle{\left(3x-12\right)^2-\left(-2x+7\right)^2\leq0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\left[ \left(3x-12\right)+\left(-2x+7\right) \right]\times\left[ \left(3x-12\right)-\left(-2x+7\right) \right]\leq0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\left(3x-12-2x+7\right)\left(3x-12+2x-7\right)\leq0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\left(x-5\right)\left(5x-19\right)\leq0}\)

Pour déterminer les solutions, on réalise un tableau de signes du produit.

-

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc : \(\displaystyle{S=\left[ \dfrac{19}{5};5 \right]}\).

II

La résolution graphique d'inéquations

A

\(\displaystyle{f\left(x\right) \gt a}\)

Solutions de \(\displaystyle{f\left(x\right)\gt a}\)

Soient une fonction \(\displaystyle{f}\) et un réel \(\displaystyle{a}\).
Les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right) \gt a}\) sont les abscisses des éventuels points de la courbe représentative de \(\displaystyle{f}\) dont l'ordonnée est strictement supérieure à \(\displaystyle{a}\).

On détermine graphiquement les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right) \gt a}\) en relevant les abscisses (par intervalles) des points de la courbe représentative de \(\displaystyle{f}\) qui sont situés au-dessus de la droite d'équation \(\displaystyle{y = a}\).

-

L'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right) \gt 2}\) admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2,13[.

De manière analogue, les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right) \lt a}\) sont les abscisses des points de la courbe représentative de \(\displaystyle{f}\) qui sont situés en dessous de la droite d'équation \(\displaystyle{y = a}\). Les solutions sont données sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

B

\(\displaystyle{f\left(x\right) \gt g\left(x\right)}\)

Solutions de \(\displaystyle{f\left(x\right)\gt g\left(x\right)}\)

Soient f et g deux fonctions.
Les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right) \gt g\left(x\right)}\) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus du point de même abscisse de la courbe représentative de g.

-

L'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right) \gt g\left(x\right)}\) admet pour solutions les réels de l'intervalle : ]0,5 ; 2[.

C

Le signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \geq 0}\)

La fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), est positive sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). En effet, le carré d'un réel est toujours positif, quel que soit le réel.

Une fonction est positive sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.

-

La courbe représentative de la fonction est située au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[ 0;2 \right]}\). La fonction représentée ci-dessus est donc positive sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[ 0;2 \right]}\).

Fonction négative

Une fonction \(\displaystyle{f}\) est négative sur \(\displaystyle{I}\) si et seulement si, pour tout réel \(\displaystyle{x}\) de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) \leq 0}\)

La fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=-x^2}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), est négative sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). En effet, l'opposé du carré d'un réel est toujours négatif, quel que soit le réel.

Une fonction est négative sur un intervalle I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle I.

-

La courbe représentative de la fonction est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[ 0;2 \right]}\). La fonction représentée ci-dessus est donc négative sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[ 0;2 \right]}\).