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Les nombres rationnels

I

L'écriture fractionnaire

Soient a et b deux nombres avec \(\displaystyle{b\neq0}\). Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Il se note \(\displaystyle{a\div b}\) ou \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) (écriture appelée "écriture fractionnaire du quotient). Ainsi :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\times b = a}\)

a s'appelle le numérateur et b s'appelle le dénominateur.

Si a et b sont des entiers, alors le nombre \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) est appelé fraction.

Partage d'une quantité

Les nombres a et b sont deux entiers, avec \(\displaystyle{b\neq0}\). La fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) (lire "a sur b") représente une portion d'une chose :

  • Le nombre b indique en combien de parts égales on a divisé cette chose.
  • Le nombre a indique combien de ces parts on choisit.

Manon a mangé les \(\displaystyle{\dfrac{\color{Blue}{3}}{\color{Red}{8}}}\) du gâteau. Cela signifie que si on découpe le gâteau en 8 parts égales, Manon en a mangées 3.

  • \(\displaystyle{\dfrac12}\) se lit "un demi".
  • \(\displaystyle{\dfrac13}\) se lit "un tiers".
  • \(\displaystyle{\dfrac14}\) se lit "un quart".
  • \(\displaystyle{\dfrac15}\) se lit "un cinquième".
  • \(\displaystyle{\dfrac16}\) se lit "un sixième".
  • \(\displaystyle{\dfrac17}\) se lit "un septième".
  • etc.

Le dénominateur b ne peut jamais être égal à 0.

Le calcul \(\displaystyle{\dfrac{4}{0}}\) est impossible.

Fraction décimale

On appelle fraction décimale toute fraction dont le dénominateur est 10 ; 100 ; 1000 ; etc.

\(\displaystyle{\dfrac{4}{100}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{27}{1\ 000}}\) sont des fractions décimales.

II

Fractions égales

Une fraction ne change pas lorsque l'on multiplie ou que l'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Autrement dit, si on a trois nombres a, b et k avec \(\displaystyle{b\neq0}\) et \(\displaystyle{k\neq0}\), alors :

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div k}{b\div k}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times4}{3\times4}=\dfrac{8}{12}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{18}{6}=\dfrac{18\div3}{6\div3}=\dfrac{6}{2}}\)

Simplification d'une fraction

Soit \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) une fraction avec \(\displaystyle{b\gt0}\).

Simplifier cette fraction, c'est trouver une fraction égale avec un dénominateur plus petit. Pour cela, on tente donc de diviser le numérateur et le dénominateur de la première fraction par un même nombre entier non nul.

Pour simplifier \(\displaystyle{\dfrac{28}{12}}\), on divise le numérateur et le dénominateur par 4 :

\(\displaystyle{\dfrac{28}{12} = \dfrac{7 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac73}\)

Pour simplifier une fraction, on doit connaître parfaitement les tables de multiplication ainsi que les critères de divisibilité.

Cette propriété n'est pas vraie avec l'addition ou la soustraction :

\(\displaystyle{\dfrac{3 + 4}{5 + 4} \neq \dfrac35}\)

Nombre rationnel

On appelle nombre rationnel tout nombre pouvant s'écrire sous forme d'une fraction.

3,14 ; 5 ; −3,2 et −7 sont des nombres rationnels.

Le nombre \(\displaystyle{\pi}\) est un nombre irrationnel, c'est-à-dire non rationnel.

III

Comparer, ranger, encadrer

Soient \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{a'}{b}}\) deux nombres rationnels écrits avec le même dénominateur \(\displaystyle{b\gt0}\).

  • Si \(\displaystyle{a\lt a'}\), alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\lt \dfrac{a'}{b}}\).
  • Si \(\displaystyle{a\gt a'}\), alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\gt \dfrac{a'}{b}}\).

On sait que :

\(\displaystyle{2\lt 7}\)

On a donc :

\(\displaystyle{\dfrac{2}{11}\lt \dfrac{7}{11}}\)

On sait que :

\(\displaystyle{8\gt 3}\)

On a donc :

\(\displaystyle{\dfrac{8}{15}\gt \dfrac{3}{15}}\)

Soient \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{a}{b'}}\) deux nombres rationnels de même numérateur positif a.

  • Si \(\displaystyle{b\lt b'}\), alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\gt \dfrac{a}{b'}}\).
  • Si \(\displaystyle{b\gt b'}\), alors \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\lt \dfrac{a}{b'}}\).

On sait que :

\(\displaystyle{2\lt 7}\)

On a donc :

\(\displaystyle{\dfrac{11}{2}\gt \dfrac{11}{7}}\)

On sait que :

\(\displaystyle{8\gt 3}\)

On a donc :

\(\displaystyle{\dfrac{15}{8}\lt \dfrac{15}{3}}\)

Ordre croissant et ordre décroissant

  • Ranger des nombres rationnels dans l'ordre croissant, c'est les écrire du plus petit au plus grand.
  • Ranger des nombres rationnels dans l'ordre décroissant, c'est les écrire du plus grand au plus petit.

Les nombres rationnels suivants sont rangés dans l'ordre croissant :

\(\displaystyle{\dfrac{2}{3}\lt \dfrac{4}{3}\lt \dfrac{8}{3}}\)

Les nombres rationnels suivants sont rangés dans l'ordre décroissant :

\(\displaystyle{\dfrac{11}{5}\gt \dfrac{10}{5}\gt \dfrac{4}{5}}\)

Encadrement d'un nombre rationnel

Encadrer un nombre rationnel a par deux autres nombres rationnels, c'est déterminer deux nombres b et c tels que \(\displaystyle{b\lt a\lt c}\).

On peut encadrer le nombre \(\displaystyle{\dfrac{7}{3}}\) de la manière suivante :

\(\displaystyle{2\lt \dfrac{7}{3}\lt 3}\)

IV

Repérer sur une droite graduée

On peut repérer un nombre rationnel sur une droite graduée.

-

Soit \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) un nombre rationnel écrit avec b entier et positif. Pour repérer \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) sur une droite graduée, il peut être utile de "découper" les unités en b parts égales.

On souhaite placer \(\displaystyle{\dfrac{13}{5}}\) sur une droite graduée. On découpe les unités en 5 parts égales et on prend 13 parts.

-
V

Prendre une fraction d'un nombre

Prendre la fraction \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}}\) d'un nombre c, c'est effectuer le calcul \(\displaystyle{\dfrac{a\times c}{b}}\), que l'on peut écrire \(\displaystyle{\dfrac{a}{b}\times c}\) ou \(\displaystyle{c\times\dfrac{a}{b}}\).

Prendre les \(\displaystyle{\dfrac{2}{3}}\) de 27, c'est effectuer le calcul suivant :

\(\displaystyle{\dfrac{2}{3}\times27=\dfrac{54}{3}=18}\)

Soit t un nombre positif. Prendre t% d'un nombre c, c'est prendre \(\displaystyle{\dfrac{t}{100}}\) de c.

10% de 52 vaut \(\displaystyle{52\times \dfrac{10}{100}=5,2}\).