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ou

Les nombres relatifs

I

Les nombres négatifs et les nombres relatifs

A

Les nombres négatifs

Nombre négatif

Un nombre négatif est un nombre précédé d'un signe "-". Le nombre \(\displaystyle{\left(-a\right)}\) est défini comme le résultat de la soustraction \(\displaystyle{0-a}\).

(−6) est un nombre négatif. Il est plus petit que 0. Il est le résultat de la soustraction 0 − 6.

(−6) est à la même distance de 0 que 6.

-

Nombres opposés

Deux nombres opposés sont deux nombres qui ont la même distance à 0 et des signes différents.

(−6) et 6 sont des nombres opposés.

Pour déterminer l'opposé d'un nombre positif, on ajoute un signe "-" devant.

L'opposé de 12 est (−12).

Pour déterminer l'opposé d'un nombre négatif, on retire le signe "-".

L'opposé de (−0,25) est 0,25.

B

Les nombres relatifs

Nombre relatif

Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe \(\displaystyle{+}\) (il est alors positif) ou \(\displaystyle{-}\) (il est alors négatif).

(−6) est un nombre négatif. C'est un nombre relatif.

(+21,7) est un nombre positif. C'est un nombre relatif.

Tout entier naturel ou tout nombre décimal est un nombre relatif.

56 est un nombre relatif qui peut s'écrire (+56).

1,78 est un nombre relatif qui peut s'écrire (+1,78).

Pour désigner un nombre relatif, on l'entoure de parenthèses. En général, les nombres positifs s'écrivent sans signe + et sans parenthèses.

(+21,7) est un nombre positif, qui peut s'écrire 21,7.

II

Addition et soustraction de nombres relatifs

A

Somme de deux nombres négatifs

La somme de deux nombres négatifs est égale à la somme de leurs opposés précédée d'un signe \(\displaystyle{-}\).

\(\displaystyle{\left(−9\right) + \left(−12\right) = − \left(9 + 12\right) = − \left(21\right) = \left(−21\right) = −21}\)

B

Somme de deux nombres relatifs de signes différents

La somme de deux nombres relatifs de signes différents est égale à la différence de leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0.

\(\displaystyle{7 + \left(−15\right) = − \left(15 − 7\right) = − \left(8\right) = \left(−8\right) = −8}\)

La somme de deux nombres opposés est égale à 0.

\(\displaystyle{\left(−4\right) + \left(+4\right) = 0}\)

C

Soustraction de deux nombres relatifs

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Cela signifie que toute soustraction peut s'écrire comme une addition.

\(\displaystyle{45 − 12 = 45 + \left(−12\right)}\)

Dans une séquence d'additions et soustractions, on peut enlever les parenthèses des nombres relatifs et supprimer leurs signes en suivant la règle :

  • Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un \(\displaystyle{+}\).
  • Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un \(\displaystyle{-}\).

\(\displaystyle{\left(+11\right) − \left(−16\right) + \left(−4\right) = 11 + 16 − 4 = 27 − 4 = 23}\)

Pour calculer une séquence d'additions et soustractions, on peut soit procéder de la gauche vers la droite, soit regrouper les termes à additionner et les termes à soustraire.
\(\displaystyle{22 - 19 + 4 + 18 - 5 = \underbrace{22 + 4 + 18}_{44} \underbrace{- 19 - 5}_{-24} = 44 + \left(-24\right) = 44 - 24 = 20}\)
III

Comparaison de nombres relatifs

Lorsque l'on compare deux nombres relatifs, trois cas se présentent.

Cas 1

Les deux nombres sont positifs

Si deux nombres sont positifs, on peut utiliser la règle usuelle pour les comparer.

Cas 2

Les deux nombres sont négatifs

On considère deux nombres négatifs \(\displaystyle{-a}\) et \(\displaystyle{-b}\). On a alors :

  • Si \(\displaystyle{a\lt b}\), alors \(\displaystyle{-a\gt -b}\)
  • Si \(\displaystyle{a\gt b}\), alors \(\displaystyle{-a\lt -b}\)
Cas 3

Un des deux nombres est positif et l'autre est négatif

Le nombre négatif est toujours inférieur au nombre positif.

On cherche à comparer 2 et 5. Les deux nombres sont positifs, donc :

\(\displaystyle{2\lt 5}\)

On cherche à comparer −2 et −5. Ces deux nombres sont négatifs.

On sait que :

\(\displaystyle{2\lt 5}\)

Donc :

\(\displaystyle{-2\gt -5}\)

On cherche à comparer 2 et −5. On a directement :

\(\displaystyle{-5\lt 2}\)