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Les primitives

I

Primitives d'une fonction continue

Primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I qui vérifie, pour tout réel x de I :

\(\displaystyle{F'\left(x\right) = f\left(x\right)}\)

Soient F et f, deux fonctions définies et dérivables sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), telles que, pour tout réel x :

  • \(\displaystyle{F\left(x\right)=x^3-5x+1}\)
  • \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x^2-5}\)

On a, pour tout réel x, \(\displaystyle{F'\left(x\right)=3x^2-5=f\left(x\right)}\). Donc F est une primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme \(\displaystyle{ x\longmapsto F\left(x\right) + k}\), où k est un réel quelconque.

La fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}_+^*}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=8x-\dfrac1x}\) est une primitive de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}_+^*}\) de la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=8+\dfrac{1}{x^2}}\). Toutes les primitives de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}_+^*}\) sont donc de la forme :

\(\displaystyle{x\longmapsto8x-\dfrac1x+k}\) avec \(\displaystyle{k\in\mathbb{R}}\)

Une fonction continue sur un intervalle I admet donc une infinité de primitives sur I.

II

Les primitives des fonctions usuelles

Soit un entier n et un réel k. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{F\left(x\right)}\) \(\displaystyle{I}\)
\(\displaystyle{k}\) \(\displaystyle{kx}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}\) si \(\displaystyle{n \geq 1 \text{ }:\text{ } \mathbb{R}}\)

si \(\displaystyle{n \leq - 2\text{ } : \text{ }\left]- \infty ; 0\right[}\) et \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x}}\) \(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) \(\displaystyle{- \cos\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\cos\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{-\dfrac{1}{a}\cos\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)
\(\displaystyle{\cos\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{a}\sin\left(ax+b\right)}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\)
III

Opérations et primitives

Soit un entier n différent de 0 et −1. On désigne par u une fonction dérivable sur l'intervalle I ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{F}\) Conditions
\(\displaystyle{u'u^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{u^{n+1}}{n + 1}}\) si \(\displaystyle{n \leq- 2}\), \(\displaystyle{u\left(x\right) \neq 0}\) sur I
\(\displaystyle{\dfrac{u'}{u}}\) \(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) \(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u'}{\sqrt{u}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{u}}\) \(\displaystyle{u \gt 0}\)
\(\displaystyle{u'e^{u}}\) \(\displaystyle{e^{u}}\)
\(\displaystyle{u'\sin\left(u\right)}\) \(\displaystyle{- \cos\left(u\right)}\)
\(\displaystyle{u'\cos\left(u\right)}\) \(\displaystyle{\sin\left(u\right)}\)