Les suites Cours

I

Etude globale d'une suite

A

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

La fonction définie pour tout entier naturel n par \(u(n)=2n+1\) est une suite.

  • Pour désigner la suite u, on peut écrire \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) .
  • L'écriture \(\displaystyle{u_{n}}\) désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire \(\displaystyle{u\left(n\right)}\).

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.

1. Définition explicite
La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie directement par son terme général :

\(\displaystyle{u_{n} = f\left(n\right)}\)

2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et un réel a, une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) peut être définie par récurrence par son premier terme \(\displaystyle{u_0=a}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)}\)

3. Définition implicite
La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un problème.

On donne :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N}^*, u_n=5n^2+\dfrac2n}\)

La suite est définie de manière explicite.

On donne :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=15 \cr \cr \forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=8u_n-12 \end{cases}}\)

La suite est définie par récurrence.

B

Les suites majorées, minorées, bornées

Suite majorée

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n} \leq M}\)

On définit la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) par :

Pour tout \(\displaystyle{n \in\mathbb{N}^{\star},u_n=\dfrac1n}\)

On a, pour tout entier naturel non nul n :

\(\displaystyle{\dfrac1n\leq1}\)

Ainsi, \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est majorée par 1.

Suite minorée

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est minorée si et seulement s'il existe un réel \(\displaystyle{m}\) tel que, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n} \geq m}\)

On définit la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) par :

Pour tout \(\displaystyle{n \in\mathbb{N}^{\star},u_n=\dfrac1n}\)

On a, pour tout entier naturel non nul n :

\(\displaystyle{\dfrac1n\geq0}\)

Ainsi, \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est minorée par 0.

Suite bornée

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

La suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) définie pour tout entier n non nul par \(\displaystyle{u_n=\dfrac1n}\) est à la fois minorée par 0 et majorée par 1. Elle est donc bornée.

C

Le sens de variation

Suite croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \geq u_{n}}\)

Considérons la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=12 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n \end{cases}}\)

On a, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2}\)

Or, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{\left(u_n \right)^2\geq0}\)

Donc pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\geq0}\)

Soit :

\(\displaystyle{u_{n+1}\geq u_n}\)

Ainsi, la suite \(\displaystyle{\left(u_n \right)}\) est croissante.

Suite strictement croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \gt u_{n}}\)

Suite décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \leq u_{n}}\)

Considérons la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in\mathbb{N}^*,u_n=\dfrac1n}\)

On a, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}}\)

Or, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\leqslant 0}\)

Donc, pour tout entier naturel n non nul :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n\leq0}\)

Soit :

\(\displaystyle{u_{n+1}\leq u_n}\)

Ainsi, la suite \(\displaystyle{\left( u_n\right)}\) est décroissante.

Suite strictement décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} \lt u_{n}}\)

Suite constante

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) pour lequel \(\displaystyle{u_n}\) est défini :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n}}\)

Suite monotone

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

II

Les suites particulières

A

Les suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} + r}\)

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=1}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} - 2 }\)

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est donc arithmétique.

Soit \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) une suite arithmétique de raison r :

  • Si \(\displaystyle{r\gt0}\), la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est strictement croissante.
  • Si \(\displaystyle{r\lt0}\), la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est strictement décroissante.
  • Si \(\displaystyle{r=0}\), la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est constante.

Raison de la suite

Le réel r est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

Terme général d'une suite arithmétique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} + nr}\)

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite arithmétique de raison \(\displaystyle{r=-2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\), alors, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n=3-2n}\)

B

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :

\(\displaystyle{u_{n+1} = u_{n} \times q}\)

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=1}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1} = 3u_{n} }\)

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc géométrique.

Soit q un réel strictement positif :

  • Si \(\displaystyle{q\gt1}\), la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) est croissante.
  • Si \(\displaystyle{0\lt q\lt1}\), la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) est décroissante.
  • Si \(\displaystyle{q=1}\), la suite \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\) est constante.

Raison de la suite

Le réel q est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

Terme général d'une suite géométrique

Soit \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} \times q^{n}}\)

Si \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est une suite géométrique de raison \(\displaystyle{q=2}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0=3}\), alors pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n=3\times2^n}\)

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q strictement positif :

  • Si \(\displaystyle{q \lt 1}\), alors \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite 0
  • Si \(\displaystyle{1 \lt q}\), alors \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite \(\displaystyle{+\infty }\)
  • Si \(\displaystyle{q=1}\), alors \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite 1

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } \left( \dfrac14 \right)^n = 0}\) car \(\displaystyle{0\lt\dfrac{1}{4}\lt1}\)

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } 5^n = +\infty }\) car \(\displaystyle{5\gt1}\)

  • Dire que \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite 0 signifie que \(\displaystyle{q^n}\) est aussi proche de 0 que l'on veut dès que n est suffisamment grand.
  • Dire que \(\displaystyle{q^n}\) a pour limite \(\displaystyle{+\infty}\) signifie que \(\displaystyle{q^n}\) est aussi grand que l'on veut dès que n est suffisamment grand.

Somme des premiers termes d'une suite géométrique

Soient n un entier naturel et q un réel différent de 1 :

\(\displaystyle{1+q^1+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\)

On a :

\(\displaystyle{1+2^1+...+2^{15}=\dfrac{1-2^{15+1}}{1-2}=2^{16}-1}\)

Si q est un réel strictement compris entre 0 et 1, on a :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}\left(1+q^1+...+q^n\right)=\dfrac{1}{1-q}}\)

On a :

\(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty}\left(1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^1+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2}\)

C

Les suites arithmético-géométriques

Suite arithmético-géométrique

Soient \(\displaystyle{u_{0}}\), \(\displaystyle{q}\) et \(\displaystyle{r}\) trois réels. On considère la suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1} = u_{n} \times q + r}\)

La suite \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est appelée suite arithmético-géométrique.

On considère la suite définie par son premier terme \(\displaystyle{u_0=2}\) et par, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{ u_{n+1} = 5u_{n} - 1 }\)

Cette suite est arithmético-géométrique.

  • Si \(\displaystyle{q = 1}\), la suite est arithmétique de raison r.
  • Si \(\displaystyle{r = 0}\), la suite est géométrique de raison q.

Pour étudier ces suites, on utilise une suite géométrique auxiliaire fournie dans l'énoncé.

Sommaire

IEtude globale d'une suiteADéfinitionBLes suites majorées, minorées, bornéesCLe sens de variationIILes suites particulièresALes suites arithmétiquesBLes suites géométriquesCLes suites arithmético-géométriques