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Les vecteurs

I

Les coordonnées cartésiennes dans le repère

Le plan est rapporté à un repère \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)}\).

A

Les coordonnées d'un point

Coordonnées d'un point

Soit un point M du plan.
Il existe un unique couple de réels \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\) tels que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}}\)

On appelle coordonnées du point M dans le repère \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)}\) le couple \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\).

Si \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}=5\overrightarrow{i}-\dfrac13\overrightarrow{j}}\), alors les coordonnées de A sont \(\displaystyle{\left( 5;-\dfrac13 \right)}\).

Abscisse et ordonnée

-

Avec les notations précédentes, le réel x est l'abscisse et le réel y est l'ordonnée du point M.

B

Les coordonnées d'un vecteur

Coordonnées d'un vecteur

Soit \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) un vecteur du plan. Il existe un unique couple de réels \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\) tels que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}}\)

On appelle coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) dans le repère \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)}\) le couple \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\).

Si \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\dfrac56\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}}\), alors les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) sont \(\displaystyle{\begin{pmatrix} \dfrac56\\-3 \end{pmatrix}}\).

Abscisse et ordonnée

Avec les notations précédentes, si \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) est un vecteur de coordonnées \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\), alors le réel x est l'abscisse et le réel y est l'ordonnée du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\).

A la différence d'un point, un vecteur du repère n'est pas "fixe". Il peut être représenté d'une infinité de manières puisqu'il admet une infinité de représentants.

Coordonnées d'un vecteur

Soient deux points du plan A \(\displaystyle{\left(x_{A} ; y_{A}\right)}\) et B \(\displaystyle{\left(x_{B} ; y_{B}\right)}\). Les coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) vérifient :

\(\displaystyle{x = x_{B} - x_{A}}\)

\(\displaystyle{y = y_{B} - y_{A}}\)

-

On considère les points \(\displaystyle{A\left(\color{Blue}{2};\color{Red}{2}\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(\color{Blue}{4};\color{Red}{5}\right)}\).

On en déduit :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} \color{Blue}{4-2} \cr \color{Red}{5-2} \end{pmatrix}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2 \cr 3 \end{pmatrix}}\)

Les coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) tel que \(\displaystyle{\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}}\) sont celles du point M.

Soient A le point de coordonnées \(\displaystyle{A\left(−5 ; 1\right)}\) et les points B et C tels que \(\displaystyle{\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}}\).

Les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{BC}}\) sont celles de A. Donc, les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{BC}}\) sont (−5 ; 1).

II

Les vecteurs colinéaires

A

Définition

Vecteurs colinéaires (1)

Deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel \(\displaystyle{k}\) tel que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}}\)

-

Sur la figure ci-dessus, B est le milieu de [AC]. On peut donc écrire : \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\dfrac12 \overrightarrow{AC}}\).

Ainsi les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont colinéaires.

Vecteurs colinéaires (2)

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs directions sont parallèles.

-

Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) ont des directions parallèles, ils sont donc colinéaires.

Soient A, B, C et D quatre points du plan. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\) sont colinéaires.

Dans le trapèze ABCD ci-dessous, les droites (BC) et (AD) sont parallèles. Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{BC}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AD}}\) sont donc colinéaires.

-

Soient A, B et C trois points du plan. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont colinéaires.

Soient les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr -4 \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -5 \cr 20 \end{pmatrix}}\).

On peut remarquer que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AC}=-5\overrightarrow{AB}}\)

Donc les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés.

B

La caractérisation analytique

Caractérisation analytique

Deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si et seulement si :

\(\displaystyle{xy' = x'y}\)

Cela revient à montrer que \(\displaystyle{xy' - x'y = 0}\).

Pour savoir si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix}\color{Blue}{2} \\ \color{Red}{-1}\end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix}\color{Red}{-6} \\ \color{Blue}{3}\end{pmatrix}}\) sont colinéaires, on calcule :

\(\displaystyle{\color{Blue}{2 \times 3} - \color{Red}{\left(-1\right) \times \left(-6\right)} = 6 - 6 = 0}\)

Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont donc colinéaires.