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Puissance d'un nombre

I

Les puissances d'un nombre

Puissance d'un nombre

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.
On désigne par \(\displaystyle{a^{n}}\) la puissance n du nombre a, tel que :

\(\displaystyle{a^n = \underbrace{a \times a \times ... \times a}_{n \text{ facteurs}}}\)

  • L'entier n est appelé l'exposant.
  • \(\displaystyle{a^n}\) se lit "a exposant n" ou "a puissance n".
  • \(\displaystyle{a^n}\) est appelé puissance n-ième de a.

\(\displaystyle{2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32}\)

Soit a un nombre non nul :

  • \(\displaystyle{a^{0} = 1}\)
  • \(\displaystyle{a^{1} = a}\)

\(\displaystyle{5^0=1}\)

\(\displaystyle{6^1=6}\)

Soient n un entier positif et a un nombre non nul :

\(\displaystyle{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}\)

\(\displaystyle{5^{-2} = \dfrac{1}{5^2}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{2^7} = 2^{-7}}\)

  • Pour tout entier n, \(\displaystyle{1^n=1}\)
  • Pour tout entier non nul n, \(\displaystyle{0^n=0}\)

Soient a et b deux nombres relatifs non nuls, n et p deux entiers relatifs :

\(\displaystyle{a^{n} \times a^{p} = a^{n+p}}\)

\(\displaystyle{3^{8} \times 3^{-2} = 3^{8-2} = 3^6}\)

\(\displaystyle{\left(a^{n}\right)^{p} = a^{np}}\)

\(\displaystyle{\left(5^{2}\right)^{4} = 5^{2 \times 4} = 5^8}\)

\(\displaystyle{\dfrac{a^{n}}{a^{p}} = a^{n-p}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{4^{5}}{4^{3}} = 4^{5-3} = 4^2}\)

\(\displaystyle{\left(ab\right)^{n} = a^{n} \times b^{n}}\)

\(\displaystyle{\left(2\times6\right)^{3} = 2^{3} \times 6^{3}}\)

\(\displaystyle{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}}}\)

\(\displaystyle{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9} = \dfrac{2^{9}}{3^{9}}}\)

Soit a un nombre non nul. L'inverse de a est \(\displaystyle{a^{-1}}\).

L'inverse de 4 est \(\displaystyle{4^{-1}=\dfrac14}\).

Dans une suite de calculs, on effectue dans l'ordre :

  • Les calculs entre parenthèses
  • Les puissances
  • Les multiplications et les divisions
  • Les additions et les soustractions

\(\displaystyle{1-\left(4-2\right)^3=1-2^3=1-8=-7}\)

II

Les puissances de 10

Soit n un entier strictement positif :

\(\displaystyle{10^n = \underbrace{10\times10...\times10}_{n \text{ facteurs}}}\)

\(\displaystyle{10^6 = 1\ 000\ 000}\)

\(\displaystyle{10^{-n} = \underbrace{0,0...0}_{n \text{ zéros}} 1}\)

\(\displaystyle{10^{-3} = 0,001}\)

Soient n et p deux entiers relatifs :

\(\displaystyle{10^{n} \times 10^{p} = 10^{n+p}}\)

\(\displaystyle{10^{8} \times 10^{-2} = 10^{8-2} = 10^6}\)

\(\displaystyle{\left(10^{n}\right)^{p} = 10^{np}}\)

\(\displaystyle{\left(10^{2}\right)^{4} = 10^{2 \times 4} = 10^8}\)

\(\displaystyle{\dfrac{10^{n}}{10^{p}} = 10^{n-p}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{10^{5}}{10^{3}} = 10^{5-3} = 10^2}\)

Préfixes

On utilise des préfixes pour simplifier le nom et l'écriture de nombres donnés avec des puissances de 10 dans certaines unités.

Préfixe Giga Méga Kilo Unité Milli Micro Nano
Symbole G M k m \(\displaystyle{\mu}\) n
\(\displaystyle{10^n}\) \(\displaystyle{10^9}\) \(\displaystyle{10^6}\) \(\displaystyle{10^3}\) \(\displaystyle{10^0=1}\) \(\displaystyle{10^{-3}}\) \(\displaystyle{10^{-6}}\) \(\displaystyle{10^{-9}}\)
  • Un cheveu ayant pour diamètre \(60 \mu\text{m}\) a donc un diamètre de \(60\times 10^{−6}\) m, soit \(6\times 10^{−5}\) m.
  • La distance Terre-Lune moyenne est d'environ 0,38 Gm, soit \(0,38\times 10^9\) m, c'est-à-dire 380 000 000 m.
III

L'écriture scientifique

Écriture scientifique

Tout nombre décimal b non nul s'écrit, de façon unique, sous la forme \(\displaystyle{a\times10^n}\) où :

  • \(\displaystyle{1\leqslant a\lt 10}\) si le nombre est positif.
  • \(\displaystyle{-10\lt a\leqslant -1}\) si le nombre est négatif.
  • n est un entier relatif.

Le nombre a est appelé mantisse du nombre b. La forme \(\displaystyle{a\times10^n}\) est appelée notation scientifique du nombre b.

La notation scientifique de 12,15 est \(\displaystyle{1,215\times10^{1}}\).

Ordre de grandeur

Un ordre grandeur d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre.

Pour un nombre donné par sa notation scientifique, sous la forme \(\displaystyle{a\times10^n}\), on prend souvent comme ordre de grandeur \(\displaystyle{b\times10^n}\)b est la valeur approchée de a arrondie à l'unité (autrement dit l'entier relatif le plus proche de a).

Un ordre de grandeur de \(\displaystyle{1,7\times10^5}\) est \(\displaystyle{2\times10^5}\), soit 200 000.