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Théorème de Thalès et réciproque

I

Le théorème

Théorème de Thalès

Soit un triangle ABC, et une droite parallèle à \(\displaystyle{\left( BC \right)}\) qui coupe \(\displaystyle{\left( AB \right)}\) en M et \(\displaystyle{\left( AC \right)}\) en N. D'après le théorème de Thalès :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}}\)

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On se propose de déterminer la longueur AB de la figure précédente où les droites \(\displaystyle{\left( MN \right)}\) et \(\displaystyle{\left( BC \right)}\) sont parallèles.

On sait que ABC est un triangle avec \(\displaystyle{M\in\left[ AB \right]}\) et \(\displaystyle{N\in\left[ AC \right]}\). De plus, les droites \(\displaystyle{\left( MN \right)}\) et \(\displaystyle{\left( BC \right)}\) sont parallèles.

Ainsi, d'après le théorème de Thalès :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}}\)

D'où :

\(\displaystyle{\dfrac{3,3}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2,5}{3,5}}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{\dfrac{3,3}{AB}=\dfrac{2,5}{3,5}}\)

Puis avec le produit en croix :

\(\displaystyle{AB= \dfrac{3,3\times3,5}{2,5}=4,62}\) cm

On peut également obtenir une configuration où \(\displaystyle{M\notin\left[ AB \right]}\) et \(\displaystyle{N\notin\left[ AC \right]}\).

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  • Ce théorème permet de calculer une longueur dans une telle configuration, si on connaît les autres.
  • Il permet également de montrer que deux droites ne sont pas parallèles.
II

Sa réciproque

Réciproque du Théorème de Thalès

Considérons un triangle ABC. Si une droite coupe \(\displaystyle{\left( AB \right)}\) en M et \(\displaystyle{\left( AC \right)}\) en N, telle que :

  • \(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}}\)
  • Les points A, M, B et A, N, C sont dans le même ordre.

Alors les droites \(\displaystyle{\left( MN \right)}\) et \(\displaystyle{\left( BC \right)}\) sont parallèles.

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On veut démontrer que les droites \(\displaystyle{\left( MN \right)}\) et \(\displaystyle{\left( BC \right)}\) sont parallèles.

ABC est un triangle et les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre.

D'une part :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{2,4}=\dfrac56}\)

D'autre part :

\(\displaystyle{\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2,5}{3}=\dfrac56}\)

Donc :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}}\)

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \(\displaystyle{\left( MN \right)}\) et \(\displaystyle{\left( BC \right)}\) sont parallèles.

En remplaçant l'hypothèse \(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}}\) par \(\displaystyle{\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AN}{AC}}\) ou \(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}}\), la conclusion est la même.

Ce théorème sert à montrer que deux droites sont parallèles.