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Etude d'une fonction et d'une aire

Difficulté
>20 MIN
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On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=5e^{-x}-3e^{-2x}+x-3}\).

On note \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\) la représentation graphique de la fonction f et \(\displaystyle{\mathscr{D}}\) la droite d'équation \(\displaystyle{y=x-3}\) dans un repère orthogonal du plan.

Partie I

Positions relatives de \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\) et \(\displaystyle{\mathscr{D}}\)

1

Soit g la fonction définie sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{g\left(x\right)=f\left(x\right)-\left(x-3\right)}\).

Justifier que, pour tout réel x de l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\), \(\displaystyle{g\left(x\right) \gt 0}\).

2

La courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\) et la droite \(\displaystyle{\mathscr{D}}\) ont-elles un point commun ? Justifier.

Partie II

Étude de la fonction g

3

On note M le point d'abscisse x de la courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\), N le point d'abscisse x de la droite \(\displaystyle{\mathscr{D}}\) et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.

Justifier que, pour tout x de l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\), la distance MN est égale à \(\displaystyle{g\left(x\right)}\).

4

On note \(\displaystyle{g'}\) la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).

Pour tout x de l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\), calculer \(\displaystyle{g'\left(x\right)}\).

5

Montrer que la fonction g possède un maximum sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) que l'on déterminera.

En donner une interprétation graphique.

Partie III

Étude d'une aire

6

On considère la fonction \(\displaystyle{\mathscr{A}}\) définie sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{\mathscr{A}\left(x\right)=\int_{0}^{x}\left[f\left(t\right)-\left(t-3\right)\right]dt}\).

Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaine dont l'aire est donnée par \(\displaystyle{\mathscr{A}\left(2\right)}\).

-
7

Justifier que la fonction \(\displaystyle{\mathscr{A}}\) est croissante sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).

8

Pour tout réel x strictement positif, calculer \(\displaystyle{\mathscr{A}\left(x\right)}\).

9

Existe-t-il une valeur de x telle que \(\displaystyle{\mathscr{A}\left(x\right)=2}\) ?

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