On considère la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=5e^{-x}-3e^{-2x}+x-3.
On note \mathscr{C}_f la représentation graphique de la fonction f et \mathscr{D} la droite d'équation y=x-3 dans un repère orthogonal du plan.
Positions relatives de \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\) et \(\displaystyle{\mathscr{D}}\)
Soit g la fonction définie sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[ par g\left(x\right)=f\left(x\right)-\left(x-3\right).
Justifier que, pour tout réel x de l'intervalle \left[0;+\infty\right[, g\left(x\right) \gt 0.
La courbe \mathscr{C}_f et la droite \mathscr{D} ont-elles un point commun ? Justifier.
Étude de la fonction g
On note M le point d'abscisse x de la courbe \mathscr{C}_f, N le point d'abscisse x de la droite \mathscr{D} et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.
Justifier que, pour tout x de l'intervalle \left[0;+\infty\right[, la distance MN est égale à g\left(x\right).
On note g' la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[.
Pour tout x de l'intervalle \left[0;+\infty\right[, calculer g'\left(x\right).
Montrer que la fonction g possède un maximum sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[ que l'on déterminera.
En donner une interprétation graphique.
Étude d'une aire
On considère la fonction \mathscr{A} définie sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[ par \mathscr{A}\left(x\right)=\int_{0}^{x}\left[f\left(t\right)-\left(t-3\right)\right]dt.
Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaine dont l'aire est donnée par \mathscr{A}\left(2\right).
Justifier que la fonction \mathscr{A} est croissante sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[.
Pour tout réel x strictement positif, calculer \mathscr{A}\left(x\right).
Existe-t-il une valeur de x telle que \mathscr{A}\left(x\right)=2 ?