Etude d'une fonction et d'une aireExercice type bac

On considère la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=5e^{-x}-3e^{-2x}+x-3.

On note \mathscr{C}_f la représentation graphique de la fonction f et \mathscr{D} la droite d'équation y=x-3 dans un repère orthogonal du plan.

Partie I

Positions relatives de \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\) et \(\displaystyle{\mathscr{D}}\)

Soit g la fonction définie sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[ par g\left(x\right)=f\left(x\right)-\left(x-3\right).

Justifier que, pour tout réel x de l'intervalle \left[0;+\infty\right[, g\left(x\right) \gt 0.

La courbe \mathscr{C}_f et la droite \mathscr{D} ont-elles un point commun ? Justifier.

Partie II

Étude de la fonction g

On note M le point d'abscisse x de la courbe \mathscr{C}_f, N le point d'abscisse x de la droite \mathscr{D} et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.

Justifier que, pour tout x de l'intervalle \left[0;+\infty\right[, la distance MN est égale à g\left(x\right).

On note g' la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[.

Pour tout x de l'intervalle \left[0;+\infty\right[, calculer g'\left(x\right).

Montrer que la fonction g possède un maximum sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[ que l'on déterminera.

En donner une interprétation graphique.

Partie III

Étude d'une aire

On considère la fonction \mathscr{A} définie sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[ par \mathscr{A}\left(x\right)=\int_{0}^{x}\left[f\left(t\right)-\left(t-3\right)\right]dt.

Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaine dont l'aire est donnée par \mathscr{A}\left(2\right).

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Justifier que la fonction \mathscr{A} est croissante sur l'intervalle \left[0;+\infty\right[.

Pour tout réel x strictement positif, calculer \mathscr{A}\left(x\right).

Existe-t-il une valeur de x telle que \mathscr{A}\left(x\right)=2 ?

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