On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=5e^{-x}-3e^{-2x}+x-3}\).
On note \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\) la représentation graphique de la fonction f et \(\displaystyle{\mathscr{D}}\) la droite d'équation \(\displaystyle{y=x-3}\) dans un repère orthogonal du plan.
Positions relatives de \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\) et \(\displaystyle{\mathscr{D}}\)
Soit g la fonction définie sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{g\left(x\right)=f\left(x\right)-\left(x-3\right)}\).
Justifier que, pour tout réel x de l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\), \(\displaystyle{g\left(x\right) \gt 0}\).
La courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\) et la droite \(\displaystyle{\mathscr{D}}\) ont-elles un point commun ? Justifier.
Étude de la fonction g
On note M le point d'abscisse x de la courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}_f}\), N le point d'abscisse x de la droite \(\displaystyle{\mathscr{D}}\) et on s'intéresse à l'évolution de la distance MN.
Justifier que, pour tout x de l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\), la distance MN est égale à \(\displaystyle{g\left(x\right)}\).
On note \(\displaystyle{g'}\) la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).
Pour tout x de l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\), calculer \(\displaystyle{g'\left(x\right)}\).
Montrer que la fonction g possède un maximum sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) que l'on déterminera.
En donner une interprétation graphique.
Étude d'une aire
On considère la fonction \(\displaystyle{\mathscr{A}}\) définie sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{\mathscr{A}\left(x\right)=\int_{0}^{x}\left[f\left(t\right)-\left(t-3\right)\right]dt}\).
Hachurer sur le graphique ci-dessous le domaine dont l'aire est donnée par \(\displaystyle{\mathscr{A}\left(2\right)}\).
Justifier que la fonction \(\displaystyle{\mathscr{A}}\) est croissante sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[0;+\infty\right[}\).
Pour tout réel x strictement positif, calculer \(\displaystyle{\mathscr{A}\left(x\right)}\).
Existe-t-il une valeur de x telle que \(\displaystyle{\mathscr{A}\left(x\right)=2}\) ?