Nombres complexes et suites Exercice type bac

On considère la suite \(\displaystyle{\left(z_n\right)}\) de nombres complexes définie pour tout entier naturel n par :

\(\displaystyle{\begin{cases} z_0=0\\ z_{n+1}=\dfrac{1}{2}\text{i}\times z_n+5 \end{cases}}\)

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note \(\displaystyle{M_n}\) le point d'affixe \(\displaystyle{z_n}\).

On considère le nombre complexe \(\displaystyle{z_A=4+2\text{i}}\) et A le point d'affixe \(\displaystyle{z_A}\).

Soit \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) la suite définie pour tout entier naturel n par \(\displaystyle{u_n=z_n-z_A}\).

a

Montrer que, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\text{i}\times u_n}\).

b

Démontre que, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^n\left(-4-2\text{i}\right).}\)

Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, \(\displaystyle{M_n}\) et \(\displaystyle{M_{n+4}}\) sont alignés.

énoncé suivant