Nombres complexes et suitesExercice type bac

On appelle \mathbb{C} l'ensemble des nombres complexes.

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right), on a placé un point M d'affixe z appartenant à \mathbb{C}, puis le point R intersection du cercle de centre O passant par M et du demi-axe \left[O;\overrightarrow{u}\right).

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Exprimer l'affixe du point R en fonction de z.

Soit le point M' d'affixe z' définie par z'=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z+|z|}{2}\right).

Reproduire la figure sur la copie et construire le point M'.

On définit la suite de nombres complexes \left(z_n\right) par un premier terme z_0 appartenant à \mathbb{C} et, pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence :

z_{n+1}=\dfrac{z_n+|z_n|}{4}

Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite \left(|z_n|\right) dépend du choix de z_0.

Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite \left(|z_n|\right) quand z_0 est un nombre réel négatif ?

Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite \left(|z_n|\right) quand z_0 est un nombre réel positif ?

On suppose désormais que z_0 n'est pas un nombre réel.

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