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Résolution d'un problème géométrique avec la fonction exponentielle

Difficulté
>20 MIN
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On considère la courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) d'équation \(\displaystyle{y=e^x}\), tracée ci-dessous.

-

Pour tout réel \(\displaystyle{m}\) strictement positif, on note \(\displaystyle{\mathscr{D}_m}\) la droite d'équation \(\displaystyle{y=mx}\).

1

Dans cette question, on choisir \(\displaystyle{m=e}\).

Démontrer que la droite \(\displaystyle{\mathscr{D}_e}\) d'équation \(\displaystyle{y=ex}\) est tangente à la courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) en son point d'abscisse 1.

2

Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d'intersection de la courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et de la droite \(\displaystyle{\mathscr{D}_m}\).

3

Démontrer cette conjecture.

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