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Résolution d'un problème graphique avec la fonction logarithme

Difficulté
>20 MIN
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Soit f la fonction définie sur l'intervalle \(\displaystyle{\left]0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\ln\left(x\right)}\).

Pour tout réel a strictement positif, on définit sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty\right[}\) la fonction \(\displaystyle{g_a}\) par \(\displaystyle{g_a\left(x\right)=ax^2}\).

On note \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) la courbe représentative de la fonction f et \(\displaystyle{\Gamma_a}\) celle de la fonction \(\displaystyle{g_a}\) dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et \(\displaystyle{\Gamma_a}\) suivant les valeurs du réel strictement positif a.

1

On a construit ci-dessous les courbes \(\displaystyle{\mathscr{C}, \Gamma_{0,05}, \Gamma_{0,1}, \Gamma_{0,19}}\) et \(\displaystyle{\Gamma_{0,4}}\).

Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée.

-
2

Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et \(\displaystyle{\Gamma_a}\) selon les valeurs (à préciser) du réel a.

3

Pour un réel a strictement positif, on considère la fonction \(\displaystyle{h_a}\) définie sur l'intervalle \(\displaystyle{\left]0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{h_a\left(x\right)=\ln\left(x\right)-ax^2}\).

Justifier que x est l'abscisse d'un point M appartenant à l'intersection de \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et \(\displaystyle{\Gamma_a}\) si et seulement si \(\displaystyle{h_a\left(x\right)=0}\).

4

On admet que la fonction \(\displaystyle{h_a}\) est dérivable sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty\right[}\), et on note \(\displaystyle{h_a'}\) la dérivée de \(\displaystyle{h_a}\) sur cet intervalle.

Le tableau de variations de la fonction \(\displaystyle{h_a}\) est donné ci-dessous.

Justifier, par le calcul, le signe de \(\displaystyle{h_a'\left(x\right)}\) pour x appartenant à \(\displaystyle{\left]0;+\infty\right[}\).

-
a

On admet que la fonction \(\displaystyle{h_a}\) est dérivable sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty\right[}\), et on note \(\displaystyle{h_a'}\) la dérivée de \(\displaystyle{h_a}\) sur cet intervalle.

Le tableau de variations de la fonction \(\displaystyle{h_a}\) est donné ci-dessous.

Justifier, par le calcul, le signe de \(\displaystyle{h_a'\left(x\right)}\) pour x appartenant à \(\displaystyle{\left]0;+\infty\right[}\).

-
b

Rappeler la limite de \(\displaystyle{\dfrac{\ln\left(x\right)}{x}}\) en \(\displaystyle{+\infty}\).

En déduire la limite de la fonction \(\displaystyle{h_a}\) en \(\displaystyle{+\infty}\).

On ne demande pas de justifier la limite de \(\displaystyle{h_a}\) en 0.

5

Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que \(\displaystyle{a=0,1}\).

a

Justifier que, dans l'intervalle \(\displaystyle{\left]0;\dfrac{1}{\sqrt{0,2}}\right[}\), l'équation \(\displaystyle{h_{0,1}\left(x\right)=0}\) admet une unique solution.

On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle \(\displaystyle{\left]\dfrac{1}{\sqrt{0,2}};+\infty\right[}\).

b

Quel est le nombre de points d'intersection de \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et de \(\displaystyle{\Gamma_{0,1}}\) ?

6

Dans cette question, et uniquement dans cette question, on suppose que \(\displaystyle{a=\dfrac{1}{2e}}\).

a

Déterminer la valeur du maximum de \(\displaystyle{h_{\frac{1}{2e}}}\).

b

En déduire le nombre de points d'intersection des courbes \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et \(\displaystyle{\Gamma_{\frac{1}{2e}}}\).

Justifier.

7

Quelles sont les valeurs de a pour lesquelles \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et \(\displaystyle{\Gamma_a}\) n'ont aucun point d'intersection ?

Justifier.

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