Résolution d'un problème géométrique avec la fonction exponentielleExercice type bac

On considère la courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) d'équation \(\displaystyle{y=e^x}\), tracée ci-dessous.

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Pour tout réel \(\displaystyle{m}\) strictement positif, on note \(\displaystyle{\mathscr{D}_m}\) la droite d'équation \(\displaystyle{y=mx}\).

Dans cette question, on choisit \(\displaystyle{m=e}\).

Démontrer que la droite \(\displaystyle{\mathscr{D}_e}\) d'équation \(\displaystyle{y=ex}\) est tangente à la courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) en son point d'abscisse 1.

Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d'intersection de la courbe \(\displaystyle{\mathscr{C}}\) et de la droite \(\displaystyle{\mathscr{D}_m}\).

Démontrer cette conjecture.

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