Résolution d'un problème géométrique avec la fonction exponentielleExercice type bac

On considère la courbe \mathscr{C} d'équation y=e^x, tracée ci-dessous.

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Pour tout réel m strictement positif, on note \mathscr{D}_m la droite d'équation y=mx.

Dans cette question, on choisit m=e.

Démontrer que la droite \mathscr{D}_e d'équation y=ex est tangente à la courbe \mathscr{C} en son point d'abscisse 1.

Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif m, le nombre de points d'intersection de la courbe \mathscr{C} et de la droite \mathscr{D}_m.

Démontrer cette conjecture.

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