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Suites et conjectures à l'aide d'un algorithme Exercice type bac

Difficulté
>20 MIN
1 / 3

Centres étrangers, 2013

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par son premier terme \(u_{1}=\dfrac{3}{2}\) et la relation de récurrence : \(u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}\).

Partie I

Algorithmique et conjectures

1

Pour calculer et afficher le terme \(u_{9}\) de la suite, un élève propose l'algorithme ci-dessous. Il a oublié de compléter deux lignes.

-

Comment compléter les deux lignes remplacées par des points de suspension ?

2

Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de \(u_{2}\) jusqu'à \(u_{9}\) ?

3

Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième:

-

Au vu de ces résultats, que dire du sens de variation et la convergence de la suite \(\left(u_{n}\right)\) ?

Partie II

Étude mathématique

4

On définit une suite auxiliaire \(\left(v_{n}\right)\) par : pour tout entier \(n\geqslant 1\), \(v _{n} = nu_{n} −1\).

On admet que la suite \(\left(v_{n}\right)\) est géométrique ; quelle est sa raison et quel est son premier terme ?

5

On admet que, pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\), on a : \(u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}\).

Quelle est la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) ?

6

On admet que, pour tout entier \(n\geqslant 1\) , on a : \(u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}\).

Quel est le sens de variation de la suite \(\left(u_{n}\right)\) ?

Partie III

Retour à l'algorithmique

7

En s'inspirant de la partie A, quel algorithme permet de déterminer et d'afficher le plus petit entier \(n\) tel que \(u_{n} < 0,001\) ?

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