Démontrer par récurrence qu'une suite est bornée Exercice

On considère la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{2+u_n} \end{cases}}\)

Montrer que pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{0\leqslant u_n\leqslant2}\)

On considère la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=1- \dfrac{u_n}{4} \end{cases}}\)

Montrer que pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{0\leqslant u_n\leqslant1}\)

On considère la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=2 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=3- \dfrac{u_n}{2} \end{cases}}\)

Montrer que pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{1\leqslant u_n\leqslant3}\)

On considère la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=2- \dfrac{u_n}{5} \end{cases}}\)

Montrer que pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{0\leqslant u_n\leqslant2}\)

On considère la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=10 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{6+u_n} \end{cases}}\)

Montrer que pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{3\leqslant u_n\leqslant10}\)

On considère la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=0 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{1+u_n} \end{cases}}\)

Montrer que pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{0\leqslant u_n\leqslant2}\)

On considère la suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie par :

\(\displaystyle{\begin{cases} u_0=5 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=-\dfrac{1}{2}u_n +3 \end{cases}}\)

Montrer que pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{0,5\leqslant u_n\leqslant5}\)

énoncé suivant