Déterminer le parallélisme ou l'orthogonalité de droites et de plans Exercice

Soient \(\displaystyle{P_{1}}\) et \(\displaystyle{P_{2}}\) deux plans de l'espace définis par les équations cartésiennes suivantes :

\(\displaystyle{P_{1}:-2x+4y+1=0}\)

\(\displaystyle{P_{2}:2x+y-2z=3}\)

Ces deux plans sont-ils perpendiculaires ?

Soient \(\displaystyle{P_{1}}\) et \(\displaystyle{P_{2}}\) deux plans de l'espace définis par les équations cartésiennes suivantes :

\(\displaystyle{P_{1}:3x-2y+z+3=0}\)

\(\displaystyle{P_{2}:-x+\dfrac{2}{3}y-\dfrac{1}{3}z=1}\)

Ces deux plans sont-ils parallèles ?

Soient \(\displaystyle{P_{1}}\) et \(\displaystyle{P_{2}}\) deux plans de l'espace définis par les équations cartésiennes suivantes :

\(\displaystyle{P_{1}:x-4y+3z+1=0}\)

\(\displaystyle{P_{2}:-x+2y-\dfrac{1}{3}z=2}\)

Ces deux plans sont-ils parallèles ? Sont-ils perpendiculaires ?

Soient P un plan dont une équation cartésienne est :

\(\displaystyle{P:3x-y+z-1=0}\)

Et \(\displaystyle{\left(d\right)}\) une droite dont une représentation paramétrique est :

\(\displaystyle{\left(d\right)\begin{cases} x=-6t+1 \cr \cr y=2t-3 \cr \cr z=-2t \end{cases}}\), \(\displaystyle{t\in\mathbb{R}}\)

Le plan P et la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) sont-ils orthogonaux ?

Soient P un plan dont une équation cartésienne est :

\(\displaystyle{P:x+y+z-2=0}\)

Et \(\displaystyle{\left(d\right)}\) une droite dont une représentation paramétrique est :

\(\displaystyle{\left(d\right)\begin{cases} x=t+1 \cr \cr y=2t-2 \cr \cr z=-3t+1 \end{cases}}\), \(\displaystyle{t\in\mathbb{R}}\)

Le plan P et la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) sont-ils parallèles ?

Soient P un plan dont une équation cartésienne est :

\(\displaystyle{P:7x+4y-3z-3=0}\)

Et \(\displaystyle{\left(d\right)}\) une droite dont une représentation paramétrique est :

\(\displaystyle{\left(d\right)\begin{cases} x=5t+1 \cr \cr y=2t \cr \cr z=t-1 \end{cases}}\), \(\displaystyle{t\in\mathbb{R}}\)

Le plan P et la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) sont-ils parallèles ? Sont-ils orthogonaux ?

Soient \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d^{'}\right)}\) deux droites dont des représentations paramétriques respectives sont :

\(\displaystyle{\left(d\right)\begin{cases} x=3t-1 \cr \cr y=t+4 \cr \cr z=-t-1 \end{cases}}\), \(\displaystyle{t\in\mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)\begin{cases} x=6t+1 \cr \cr y=2t \cr \cr z=-2t \end{cases}}\), \(\displaystyle{t\in\mathbb{R}}\)

Les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d^{'}\right)}\) sont-elles parallèles ?

énoncé suivant