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Résoudre une équation diophantienne avec le théorème de Bézout et l'algorithme d'Euclide

Difficulté
5-10 MIN
5 / 5

On cherche à résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{Z}^2}\) l'équation E :

\(\displaystyle{-13x-31y =1}\)

1

Pourquoi peut-on affirmer que cette équation admet au moins un couple d'entiers solution ?

2

À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer un couple d'entiers solution de E.

3

Démontrer que si \(\displaystyle{\left(x , y\right)}\) est un couple d'entiers solution de E, alors il existe un entier k tel que \(\displaystyle{x=-12-31k}\) et \(\displaystyle{y = 5+13k}\).

4

Réciproquement, démontrer que s'il existe un entier k tel que : \(\displaystyle{x =-12-31k}\) et \(\displaystyle{y = 5+13k}\), alors le couple d'entiers \(\displaystyle{\left(x , y\right)}\) est solution de E.

5

Résoudre E dans \(\displaystyle{\mathbb{Z}^2}\).

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