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Les nombres complexes Fiche bac

I

Notion de nombre complexe

A

La forme algébrique

Nombre complexe

On appelle nombre complexe tout élément de la forme \(\displaystyle{x+iy}\)x et y sont des réels et i un élément vérifiant \(\displaystyle{i^2=-1}\) .

Forme algébrique

L'écriture \(\displaystyle{z = x + iy}\) (où x et y sont des réels) est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.

Parties réelle et imaginaire

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\) (où \(x\) et \(y\) sont réels) :

  • On appelle partie réelle de z, notée \(\displaystyle{\text{Re}\left(z\right)}\), le réel \(x\).
  • On appelle partie imaginaire de z, notée \(\displaystyle{\text{Im}\left(z\right)}\), le réel \(y\).

Nombres égaux

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

  • Le nombre \(z\) est réel si et seulement si \(\displaystyle{\text{Im}\left(z\right) = 0}\).
  • Le nombre \(z\) est imaginaire pur si et seulement si \(\displaystyle{\text{Re}\left(z\right) = 0}\).
B

Le conjugué

Conjugué

Soit un nombre complexe sous forme algébrique \(\displaystyle{z = x + iy}\).
On appelle conjugué de z, noté \(\displaystyle{\overline{z}}\), le complexe :

\(\displaystyle{x - iy}\)

Soient \(z\) et \(z'\) deux nombres complexes tels que \(\displaystyle{z=x+iy}\) et \(\displaystyle{z'=x'+iy'}\).

  • \(\displaystyle{\overline{\overline{z}} = z}\)
  • \(\displaystyle{z + \overline{z} = 2 \text{Re}\left(z\right)}\)
  • \(\displaystyle{z - \overline{z} = 2i \text{ Im}\left(z\right)}\)
  • z est réel \(\displaystyle{\Leftrightarrow z = \overline{z}}\)
  • z est imaginaire pur \(\displaystyle{\Leftrightarrow z = - \overline{z}}\)
  • \(\displaystyle{\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}}\)
  • \(\displaystyle{\overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'}}\)
  • Si \(z'\) non nul : \(\displaystyle{\overline{ \left(\dfrac{z}{z'} \right) } = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}}\)
  • Pour tout entier relatif \(n\) (avec \(\displaystyle{z\neq 0}\) si \(\displaystyle{n \lt 0}\) ) : \(\displaystyle{\overline{z^n}= \left(\overline{z}\right)^{n}}\)
C

Le module

Module

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\).
On appelle module de z, noté \(\displaystyle{|z|}\), le réel :

\(\displaystyle{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)

Soient \(z\) et \(z'\) deux nombres complexes.

  • \(\displaystyle{z \overline{z} = |z|^{2}}\)
  • \(\displaystyle{|z| = |\overline{z}|}\)
  • \(\displaystyle{|z| = |- z|}\)
  • \(\displaystyle{|zz'| = |z| \times |z'|}\)
  • Si \(z'\) non nul : \(\displaystyle{\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}}\)
  • Pour tout entier \(n\) : \(\displaystyle{|z^{n}| = |z|^{n}}\)
D

La représentation analytique

Affixe

Soit un repère orthonormal direct du plan \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right)}\).
À tout point \(M\) de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\) on associe le nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\) :

  • Le nombre complexe \(z\) est appelé affixe du point \(M\) (et du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{OM}}\) ).
  • Le point \(M\) est appelé image du nombre complexe \(z\). On définit ainsi le plan complexe.
-

Le module \(\displaystyle{|z|}\) du nombre complexe z, affixe du point M, est égal à la distance OM.

-

Deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont égaux si, et seulement s'ils ont même affixe.

On peut se servir de la propriété précédente pour :

  • Déterminer l'affixe d'un point \(D\) pour qu'un quadrilatère \(ABCD\) soit un parallélogramme, connaissant les affixes des points \(A, B\) et \(C\).
  • Déterminer les coordonnées du milieu d'un segment.
II

Les équations dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\)

Les équations du premier degré d'inconnue z à coefficients réels se résolvent dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) comme dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Les équations du premier degré faisant intervenir un nombre complexe z et son conjugué \(\displaystyle{\overline{z}}\) se résolvent en remplaçant z et \(\displaystyle{\overline{z}}\) par leurs formes algébriques.

Équations du second degré

Soit une équation du second degré à coefficients réels du type \(\displaystyle{az^{2} + bz + c}\), avec \(\displaystyle{a \neq 0}\).

  • Si \(\displaystyle{\Delta \gt 0}\), cette équation admet deux solutions réelles :

\(\displaystyle{z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) et \(\displaystyle{z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)

  • Si \(\displaystyle{\Delta=0}\), cette équation admet une solution (double) réelle :

\(\displaystyle{z_0=\dfrac{-b}{2a}}\)

  • Si \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\), cette équation admet deux solutions complexes conjuguées :

\(\displaystyle{z_{1} =\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}}\) et \(\displaystyle{z_{2} =\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}}\)

Dans le cas où \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\), on aurait pu écrire :

\(\displaystyle{z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}}\) et \(\displaystyle{z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}}\)

III

Les formes trigonométriques et exponentielles

A

La forme trigonométrique

Argument

On appelle argument de z, noté \(\displaystyle{\arg\left(z\right)}\) la mesure en radians de l'angle orienté \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right)}\) :

\(\displaystyle{\arg\left(z\right) = \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) \left[2\pi \right]}\)

-

Forme trigonométrique

Soit un nombre complexe \(z\) non nul d'argument \(\displaystyle{\theta}\).

Alors \(\displaystyle{z = |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right)}\).

\(\displaystyle{|z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right)}\) est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z.

Réciproquement, si \(\displaystyle{z = r \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right)}\), avec \(\displaystyle{r \gt 0}\) et \(\displaystyle{\theta}\) réel quelconque, alors :

\(\displaystyle{|z| = r}\)

\(\displaystyle{\arg\left(z\right) = \theta \left[2\pi\right]}\)

Soit \(z\) un nombre complexe non nul d'argument \(\displaystyle{\theta}\) et de forme algébrique \(\displaystyle{x+iy}\), avec \(x\) et \(y\) réels. Alors :

\(\displaystyle{x=|z|\cos\left(\theta\right)}\) et \(\displaystyle{y=|z|\sin\left(\theta\right)}\)

Autrement dit :

\(\displaystyle{\cos\left(\theta\right)=\dfrac{x}{|z|}}\) et \(\displaystyle{\sin\left(\theta\right)=\dfrac{y}{|z|}}\)

Soient \(z\) et \(z'\) deux nombres complexes non nuls.

  • \(\displaystyle{\arg\left(zz'\right) = \arg\left(z\right) + \arg\left(z'\right) \left[2\pi\right]}\)
  • \(\displaystyle{\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = - \arg\left(z\right) \left[2\pi\right]}\)
  • \(\displaystyle{\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg\left(z\right) - \arg\left(z'\right) \left[2\pi\right]}\)
  • Pour tout entier naturel \(n\) : \(\displaystyle{\arg\left(z^{n}\right) = n \arg\left(z\right) \left[2\pi\right]}\)
  • \(z\) est réel \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg\left(z\right) = 0 \left[2\pi \right]}\) ou \(\displaystyle{\arg\left(z\right) = \pi \left[2\pi \right]}\)
  • \(z\) est imaginaire pur \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg\left(z\right) = \dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]}\) ou \(\displaystyle{\arg\left(z\right) = -\dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]}\)
B

La forme exponentielle

Exponentielle complexe

Pour tout réel \(\displaystyle{\theta}\), on pose :

\(\displaystyle{e^{i\theta} = \cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)}\)

Forme exponentielle

Soit un nombre complexe z non nul d'argument \(\displaystyle{\theta}\).

Alors \(\displaystyle{z = |z| e^{i\theta}}\).

\(\displaystyle{|z| e^{i\theta}}\) est appelée forme exponentielle du nombre complexe z.
Réciproquement, si \(\displaystyle{z = re^{i\theta}}\), avec \(\displaystyle{r \gt 0}\) et \(\displaystyle{\theta}\) réel quelconque, alors :

\(\displaystyle{|z| = r}\)

\(\displaystyle{arg\left(z\right) = \theta \left[2\pi\right]}\)

Soient \(\displaystyle{\theta}\) et \(\displaystyle{\theta'}\) deux réels.

  • \(\displaystyle{\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}}\)
  • \(\displaystyle{e^{i\left(\theta+\theta'\right)} = e^{i\theta} e^{i\theta'}}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{1}{e^{i\theta}}= e^{-i\theta}}\)
  • Pour tout entier relatif \(n\) : \(\displaystyle{\left(e^{i\theta}\right)^{n} = e^{in\theta}}\) (Cette formule s'appelle "formule de Moivre".)

Formule d'Euler

Soit \(\displaystyle{\theta}\) un réel. Alors :

\(\displaystyle{\cos\left(\theta\right)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}}\) et \(\displaystyle{\sin\left(\theta\right)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}}\)

Ces formules permettent de linéariser \(\displaystyle{\left[\cos\left(\theta\right)\right]^n}\) (ou \(\displaystyle{\left[\sin\left(\theta\right)\right]^n}\) ) où n est un entier naturel et \(\displaystyle{\theta}\) un réel quelconque, c'est-à-dire écrire \(\displaystyle{\left[\cos\left(\theta\right)\right]^n}\) (ou \(\displaystyle{\left[\sin\left(\theta\right)\right]^n}\) ) en fonction de \(\displaystyle{\cos\left(\theta\right)}\), \(\displaystyle{\sin\left(\theta\right)}\), \(\displaystyle{\cos\left(2\theta\right)}\), \(\displaystyle{\sin\left(2\theta\right)}\), ..., \(\displaystyle{\cos\left(n\theta\right)}\) et \(\displaystyle{\sin\left(n\theta\right)}\).

C

L'interprétation géométrique

Distance

Soient A et B deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\) et \(\displaystyle{z_{B}}\) :

\(\displaystyle{AB = |z_{B} - z_{A}|}\)

Soient A et B deux points d'affixes respectives a et b.

L'ensemble des points M (d'affixe z) du plan complexe vérifiant \(\displaystyle{|z-a|=|z-b|}\) est la médiatrice du segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\).

Autrement dit, si A, B et M sont des points du plan complexe d'affixes respectives a, b et z. Alors M appartient à la médiatrice du segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\) si, et seulement si, \(\displaystyle{|z-a|=|z-b|}\).

Soit \(\displaystyle{\Omega}\) (d'affixe \(\omega\)) un point du plan complexe et r un réel positif.

L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que \(\displaystyle{|z-\omega|=r}\) est le cercle de centre \(\displaystyle{\Omega}\) et de rayon r.

Autrement dit, si \(\displaystyle{\Omega}\) (d'affixe w) est un point du plan complexe et r un réel positif, alors un point M d'affixe z appartient au cercle de centre \(\displaystyle{\Omega}\) et de rayon r si, et seulement si, \(\displaystyle{|z-\omega|=r}\).

Soit \(\displaystyle{\Omega}\) (d'affixe w) un point du plan complexe et r un réel positif.

L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que \(\displaystyle{|z-\omega| \lt r}\) est le disque ouvert de centre \(\displaystyle{\Omega}\) et de rayon r.

L'ensemble des points M (d'affixe z) tels que \(\displaystyle{|z-\omega| \gt r}\) est le plan entier privé du disque de centre \(\displaystyle{\Omega}\) et de rayon r.

Angle

Soient A et B deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\) et \(\displaystyle{z_{B}}\) :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}\right) = \arg\left(z_{B} - z_{A}\right) \left[2\pi\right]}\)

Argument d'un quotient (1)

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{1}}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{2}}}\) deux vecteurs non nuls d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{1}}\) et \(\displaystyle{z_{2}}\) :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{v_{1}} ; \overrightarrow{v_{2}}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{2}}{z_{1}}\right) \left[2\pi\right]}\)

Argument d'un quotient (2)

Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\), \(\displaystyle{z_{B}}\) et \(\displaystyle{z_{C}}\) :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) \left[2\pi\right]}\)