Devenir Premium
Se connecter
ou

Les suites Fiche bac

I

Sens de variation

Suite croissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1}\geq u_n}\).

Suite décroissante

La suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1}\leq u_n}\).

Suite monotone

Une suite est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante.

II

Suite majorée, minorée, bornée

Suite majorée

Une suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel \(n\), \(\displaystyle{u_n\leq M}\).

Suite minorée

Une suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n \(\displaystyle{u_n\geq m}\).

Suite bornée

Une suite est bornée si et seulement si elle est à la fois minorée et majorée.

III

Suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique de raison r et de premier terme \(\displaystyle{u_0}\) Suite géométrique de raison q et de premier terme \(\displaystyle{u_0}\)
Relation de récurrence \(\displaystyle{u_{n+1}=u_n+r}\) \(\displaystyle{u_{n+1}=u_n\times q}\)
Terme général

Pour tout entier \(\displaystyle{n\geq p}\) :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0 :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} + nr}\)

Pour tout entier \(\displaystyle{n\geq p}\) :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0 :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} \times q^{n}}\)

La limite d'une suite géométrique de terme général \(\displaystyle{q^{n}}\)

La limite de la suite géométrique de terme général \(\displaystyle{q^{n}}\) dépend de la valeur de q :

Condition sur q Limite de \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\)
\(\displaystyle{0 \lt q \lt 1}\) \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } q^{n} = 0}\)
\(\displaystyle{q = 1}\) \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } q^{n} = 1}\)
\(\displaystyle{q \gt 1}\) \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } q^{n} = + \infty }\)

Soit un réel \(\displaystyle{q\neq 1}\). Alors, pour tout entier naturel \(\displaystyle{n\geq 1}\),

\(\displaystyle{1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}}\)

IV

Suites arithmético-géométriques

Suite arithmético-géométrique

Soient deux réels a et b.

Les suites \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définies par les données du premier terme \(\displaystyle{u_0}\) et d'une relation de récurrence du type \(\displaystyle{u_{n+1}=au_n+b}\) sont appelées suites arithmético-géométriques.

La suite \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) par \(\displaystyle{\begin{cases}u_0=5\\u_{n+1}=3u_n-1\end{cases}}\) est une suite arithmético-géométrique.

Lors de l'étude d'une suite arithmético-géométrique de relation \(\displaystyle{u_{n+1}=au_n+b}\), avec \(\displaystyle{a\neq 1}\) (sinon la suite est arithmétique), l'énoncé proposera quasiment à chaque fois d'étudier une suite auxiliaire \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) telle que \(\displaystyle{v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}}\).

Il sera alors, en général, demandé de :

  • Montrer que la suite \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est géométrique (elle le sera de raison a).
  • D'en déduire une forme explicite de \(\displaystyle{v_n}\).
  • Puis une forme explicite de \(\displaystyle{u_n}\).

On pourra alors par exemple calculer la limite de \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\).

Avec l'exemple précédent, l'énoncé proposerait d'étudier la suite \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) définie pour tout entier naturel n par \(\displaystyle{v_n=u_n-\dfrac{-1}{1-3}}\), soit \(\displaystyle{v_n=u_n-\dfrac{1}{2}}\).

Il sera assez simple de montrer que la suite \(\displaystyle{\left(v_n\right)}\) est géométrique de raison 3.

On en déduit que, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{v_n=v_0\times 3^n=\dfrac{9}{2}\times 3^n}\),

puis, comme \(\displaystyle{u_n=v_n+\dfrac{1}{2}}\), on obtient : \(\displaystyle{u_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}\times 3^n}\).

Puisque \(\displaystyle{3 \gt 1}\), on obtient \(\displaystyle{\lim_{n\to +\infty} \left(3^n\right)=+\infty}\), puis \(\displaystyle{\lim_{n\to +\infty} \left(u_n\right)=+\infty}\).

Il arrive assez souvent que l'on ait à résoudre une inéquation du type \(\displaystyle{u_n\geq A}\) ou \(\displaystyle{u_n\leq A}\), où A est un réel donné.

L'utilisation de la fonction \(\displaystyle{ln}\) donne rapidement la réponse.

Résolvons l'inéquation \(\displaystyle{u_n\geq 50}\), où \(\displaystyle{\left(u_n\right)}\) est la suite définie dans l'exemple précédent.

\(\displaystyle{ \text{Pour tout }n\geq 100, \\u_n\geq 50\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}\times 3^n\geq 50 \\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{2}\times 3^n\geq \dfrac{99}{2}\\ \Leftrightarrow 3^n\geq 11\\ \Leftrightarrow \ln\left( 3^n\right)\geq \ln\left(11\right)\\ \Leftrightarrow n\ln\left(3\right)\geq \ln\left(11\right)\\ \Leftrightarrow n\geq \dfrac{\ln\left(11\right)}{\ln\left(3\right)}\text{, car }\ln\left(3\right) \gt 0 }\)

Or, \(\displaystyle{\dfrac{\ln\left(11\right)}{\ln\left(3\right)}\approx 2,18}\).

Comme n est un entier naturel, on obtient donc \(\displaystyle{n\geq 3}\).

L'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels supérieur ou égaux à 3.