Fonctions Fiche brevet

I

Les fonctions linéaires

Fonction linéaire

Soit \(\displaystyle{a}\) un nombre connu constant.
On appelle fonction linéaire le procédé qui, à tout nombre \(\displaystyle{x}\), associe l'unique nombre \(\displaystyle{y}\) tel que :

\(\displaystyle{y = ax}\)

On la note \(\displaystyle{x \longmapsto ax}\).

Si la fonction est désignée par la lettre \(\displaystyle{f}\), on écrit aussi \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax}\).

Le procédé qui, à tout nombre \(x\), associe son triple est une fonction linéaire.

Si on note \(f\) cette fonction, on a alors pour tout nombre \(x\),

\(f(x)=3x\).

Image, antécédent

  • Le nombre \(\displaystyle{y}\) est l'image de \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f}\).
  • Le nombre \(\displaystyle{x}\) est un antécédent de \(\displaystyle{y}\) par \(\displaystyle{f}\).

Considérons à nouveau la fonction \(f\) définie par \(f(x)=3x\).

  • L'image du nombre 10 par \(f\) est \(3\times 10=30\).
  • Un antécédent du nombre 30 par \(f\) est donc le nombre 10.

Une fonction linéaire est définie par son coefficient \(\displaystyle{a}\). Il suffit ainsi de connaître la valeur de \(\displaystyle{a}\) pour être en mesure de calculer l'image et l'antécédent de tout nombre par la fonction.

Proportionnalité

Pour une fonction linéaire donnée, toutes les images sont proportionnelles aux antécédents.

Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des antécédents aux images est le coefficient \(\displaystyle{a}\).

Par conséquent, il suffit de connaître l'image d'un nombre non nul par une fonction linéaire pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient \(\displaystyle{a}\), et donc l'expression générale de \(\displaystyle{f}\).

Représentation graphique

Dans un repère du plan, on appelle représentation graphique d'une fonction linéaire \(f\) de coefficient \(a\) l'ensemble des points de coordonnées \((x;ax)\).

Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire \(\displaystyle{x \longmapsto ax}\) est une droite passant par l'origine \(\displaystyle{O}\).

La droite représentant la fonction linéaire \(x\mapsto 3x\) est la droite suivante :

-

Coefficient directeur

Avec les notations du théorème précédent, le nombre \(\displaystyle{a}\) est appelé coefficient directeur de la droite.

Dans l'exemple précédent, le coefficient directeur de la droite est 3.

II

Les fonctions affines

Fonction affine

Soient \(\displaystyle{m}\) et \(\displaystyle{p}\) deux nombres connus constants.
On appelle fonction affine le procédé qui, à tout nombre \(\displaystyle{x}\), associe le nombre \(\displaystyle{y}\) tel que :

\(\displaystyle{y = mx + p}\)

On la note \(\displaystyle{x \longmapsto mx + p}\).

Si la fonction est désignée par la lettre \(\displaystyle{f}\), on écrit aussi \(\displaystyle{f\left(x\right) = mx + p}\).

On distingue deux formes de fonctions affines particulières :

  • Si \(\displaystyle{p = 0}\), la fonction est linéaire (une fonction linéaire est une fonction affine) ;
  • Si \(\displaystyle{m = 0}\), la fonction est constante (tous les nombres ont la même image par la fonction, égale à \(\displaystyle{p}\) ).

Le procédé qui, à tout nombre \(x\), associe le nombre \(y=2x+3\) est une fonction affine, que l'on peut noter \(x\mapsto 2x+3\).

Une fonction affine est définie par son coefficient \(\displaystyle{m}\) et le nombre \(\displaystyle{p}\). Il suffit ainsi de connaître les valeurs de \(\displaystyle{m}\) et \(\displaystyle{p}\) pour être en mesure de calculer l'image et l'antécédent de tout nombre par la fonction.

Accroissement des images et des antécédents

Pour une fonction affine donnée, l'accroissement des images (c'est-à-dire la différence entre deux images) est proportionnel à l'accroissement des antécédents correspondants.

Le coefficient de proportionnalité permettant de passer de l'accroissement des antécédents à celui des images correspondantes est le coefficient \(\displaystyle{m}\).

Considérons la fonction affine \(f:x\mapsto 3x+1\).

Prenons par exemple les images de 5 et 10 par \(f\).

L'image de 5 par \(f\) est \(f(5)=3\times 5+1=16\).

L'image de 10 par \(f\) est \(f(10)=3\times 10+1=31\).

L'accroissement des antécédents est \(10−5=5\).

L'accroissements des images est \(31−16=15\).

Le coefficient de cette fonction est 3 et on a bien \(3\times 5=15\).

Reprenons les notations du théorème précédent.

Il suffit de connaître les images \(\displaystyle{y_{1}}\) et \(\displaystyle{y_{2}}\) de deux nombres \(\displaystyle{x_{1}}\) et \(\displaystyle{x_{2}}\) par une fonction affine pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient \(\displaystyle{m}\) :

\(\displaystyle{m =\dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}}\)

On peut ensuite en déduire la valeur de \(\displaystyle{p}\), et donc l'expression générale de la fonction affine.

Déterminons la fonction affine \(f\) telle que \(f(2)=5\) et \(f(10)=21\).

Notons \(mx+p\) une expression de \(f(x)\) pour n'importe quel nombre \(x\).

D'après le théorème précédent, on a :

\(m=\dfrac{21−5}{10−2}=\dfrac{16}{8}=2\)

Ainsi, pour tout nombre \(x\), on a :

\(f(x)=2x+p\).

Déterminons \(p\).

\(f(2)=5\), donc \(2\times 2+p=5\).

Ainsi, on obtient successivement :

\(4+p=5\)

\(p=5−4\)

\(p=1\)

Ainsi, pour tout nombre \(x\), on a :

\(f(x)=2x+1\)

Représentation graphique

Dans un repère du plan, on appelle représentation graphique d'une fonction affine \(f\) d'expression \(f(x)=mx+p\) l'ensemble des points de coordonnées \((x;mx+p)\).

Représentation graphique

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine \(\displaystyle{x \longmapsto mx + p}\) est une droite coupant l'axe des ordonnées au point de coordonnées \((0;p)\). Le nombre \(\displaystyle{m}\) est appelé coefficient directeur de la droite, et le nombre \(\displaystyle{p}\) ordonnée à l'origine.

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La représentation graphique de la fonction affine \(x\mapsto 2x+1\) est la suivante :

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III

Généralisation de la notion de fonction

Fonction numérique

Tout procédé qui associe à tout nombre \(\displaystyle{x}\) d'un ensemble \(\mathcal{D}\) un unique nombre \(\displaystyle{y}\) définit une fonction numérique sur l'ensemble \(\mathcal{D}\).

Le procédé qui à tout entier relatif associe son carré est une fonction numérique sur l'ensemble \(\mathcal{D}\) des entiers relatifs.

Image

Avec les notations précédentes, considérons un nombre \(x\) de l'ensemble \(\mathcal{D}\).

On appelle image de \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f}\) l'unique nombre \(\displaystyle{y}\) qui vérifie :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\)

En considérant la fonction précédente, que l'on notera \(f\), l'image de 5 par cette fonction est :

\(f(5)=5^2=25\).

Antécédent

On appelle antécédent de \(\displaystyle{y}\) par \(\displaystyle{f}\) tout nombre \(\displaystyle{x}\) qui vérifie :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\)

Considérons la fonction \(f\) précédente.

  • Le nombre 25 a deux antécédents par \(f\) : \(−5\) et 5.
  • Le nombre −2 n'a pas d'antécédent par \(f\) ; en effet, quelque soit l'entier relatif \(x\), on ne peut pas avoir \(x^2=−2\).

Courbe représentative

La courbe représentative \(\displaystyle{C_{f}}\) d'une fonction \(\displaystyle{f}\) définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\) dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; f\left(x\right)\right)}\) pour \(x\) appartenant à \(\mathcal{D}\).

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Considérons la fonction qui à tout nombre \(x\) associe son carré.

La représentation graphique de cette fonction est la suivante :

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Considérons une fonction \(f\) définie sur un ensemble \(\mathcal{D}\).

  • L'image d'un nombre \(x\) de \(\mathcal{D}\) par \(\displaystyle{f}\) est l'ordonnée du point de \(\displaystyle{C_{f}}\) d'abscisse \(\displaystyle{x}\).
  • Les antécédents d'un nombre \(\displaystyle{y}\) par \(\displaystyle{f}\) sont les éventuelles abscisses des points de \(\displaystyle{C_{f}}\) d'ordonnées \(\displaystyle{y}\).

Voici la courbe représentative d'une fonction \(f\) dans un repère du plan.

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  • Le point de la courbe de \(f\) d'abscisse 0 a pour ordonnée 2 ; l'image de 0 par \(f\) est donc \(f(0)=2\).
  • La courbe de \(f\) compte deux points d'ordonnées 4. Ils ont pour abscisses \(−2\) et 4. Les antécédents de 4 par \(f\) sont donc \(−2\) et 4.