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Géométrie plane Fiche brevet

I

Géométrie plane

A

Angles

Angles opposés par le sommet

Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.

-

Angles alternes-internes

  • Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une droite sécante, les angles alternes-internes sont de même mesure.
  • Réciproquement, si deux droites parallèles coupées par une droite sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors elles sont parallèles.
-

Angles correspondants

  • Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une droite sécante, les angles correspondants sont de même mesure.
  • Réciproquement, si deux droites parallèles coupées par une droite sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors elles sont parallèles.
-
B

Triangles

Somme des mesures des angles d'un triangle

La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°.

Dans le triangle \(EBC\) ci-dessous, on cherche à déterminer la mesure de l'angle \(\widehat{BEC}\).

-

Comme la somme des mesures des angles du triangle EBC vaut 180°, on a :

\(\widehat{BEC}+\widehat{ECB}+\widehat{CBE}=180\)

\(\widehat{BEC}+75+30=180\)

\(\widehat{BEC}=180-(75+30)\)

\(\widehat{BEC}=75°\)

Théorème de Pythagore

Dans le triangle \(\displaystyle{ABC}\) rectangle en \(\displaystyle{A}\), on a :

\(\displaystyle{AB^{2} + AC^{2} = BC^{2}}\)

Le triangle \(\displaystyle{ABC}\) est rectangle en \(\displaystyle{B}\) et vérifie :

\(AB=5,2\) cm et \(AC=6,8\) cm.

-

Comme le triangle \(\displaystyle{ABC}\) est rectangle en \(\displaystyle{B}\), on a, d'après le théorème de Pythagore :

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

\(BC^2=AC^2-AB^2\)

\(BC^2=6,8^2−5,2^2\)

\(BC^2=19,2\)

\(BC\approx 4,38\) cm

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle \(\displaystyle{ABC}\), l'égalité \(\displaystyle{BC^2=AB^2+AC^2}\) est vérifiée alors le triangle \(\displaystyle{ABC}\) est rectangle en \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{\left[ BC \right]}\) est l'hypoténuse du triangle.

Le triangle \(EFG\) est tel que \(EF=4,5\) cm, \(FG=6\) cm et \(EG=7,5\) cm.

Alors,

  • \(EF^2+FG^2=4,5^2+6^2=56,25\)
  • \(EG^2=7,5^2=56,25\)

Ainsi, \(EF^2+FG^2=EG^2\).

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(\displaystyle{EFG}\) est rectangle en \(\displaystyle{F}\) et \([EG]\) est l'hypoténuse de ce triangle rectangle.

C

Parallélogrammes

Caractérisation d'un parallélogramme

Si un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) a :

Ses côtés opposés parallèles deux à deux

Alors, ce quadrilatère est un parallélogramme.
Ses côtés opposés deux à deux de même longueur
Deux côtés parallèles et de même longueur
Ses diagonales qui se coupent en leur milieu

Caractérisation d'un losange à partir d'un parallélogramme

Si un parallélogramme a :

Deux côtés consécutifs de même longueur

Alors, ce parallélogramme est un losange.
Ses diagonales qui sont perpendiculaires

Caractérisation d'un rectangle à partir d'un parallélogramme

Si un parallélogramme a :

Un de ses angles droit

Alors, ce parallélogramme est un rectangle.
Ses diagonales qui sont de même longueur
D

Périmètres et aires

-
II

Transformations du plan, agrandissement et réduction

A

Symétries

Symétrie axiale

Le point \(M'\) est le symétrique du point \(M\) par la symétrie orthogonale d'axe \(\displaystyle{\Delta }\) si la droite \(\displaystyle{\Delta }\) est la médiatrice du segment \([MM']\).

Le point \(S\) est le symétrique du point \(P\) par rapport à la droite \(\displaystyle{\left( d \right)}\).

-

Symétrie centrale

Le point \(M'\) est le symétrique du point \(M\) par la symétrie centrale de centre \(O\) si le point \(O\) est le milieu du segment \([MM']\).

Le point \(A'\) est le symétrique du point \(A\) par rapport au point \(O\).

-

La symétrie centrale transforme :

  • Une droite en une droite parallèle à la première
  • Un segment en un segment parallèle au premier

Le segment \([C'D']\) est le symétrique du segment \([CD]\) par rapport au point \(\displaystyle{O}\).

On a donc \(\left(C'D'\right)//(CD)\).

Les symétries axiales et centrales conservent l'alignement, les longueurs, le parallélisme, les mesures d'angles et les aires.

Le segment \([C'D']\) est le symétrique du segment \([CD]\) par rapport au point \(\displaystyle{O}\).

On a donc \(C'D'=CD\).

-
B

Autres transformations du plan

Rotation

  • Transformer une figure par rotation revient à la faire pivoter d'un angle donné autour d'un point, son centre. Le sens inverse des aiguilles d'une montre est appelé sens direct.
  • Dans le sens direct, le point \(A'\) est l'image du point \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha\) : lorsque \(OA=OA'\), l'angle \(\widehat{AOA'}\) mesure \(\alpha °\) et on tourne de \(A\) vers \(A'\) dans le sens direct.

Le point \(A'\) est l'image du point \(A\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\alpha=70°\).

-

Translation

Transformer une figure par translation revient la faire glisser d'une longueur donnée, le long d'une droite donnée et dans un sens donné.

Si la translation qui transforme \(\displaystyle{A}\) en \(\displaystyle{B}\) transforme aussi \(\displaystyle{C}\) en \(\displaystyle{D}\), alors \(\displaystyle{ABDC}\) est un parallélogramme éventuellement aplati.

-

Les translations et les rotations conservent l'alignement, les longueurs, les mesures d'angle, le parallélisme et les aires

-

Homothétie

\(M'\) est l'image de \(M\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\)
(\(k\) un nombre réel différent de 0) lorsque :

  • Si \(k\) est positif : \(M'\in [OM)\) ou si \(k\) est négatif : \(O \in [MM']\)
  • \(OM' = k OM\) si \(k\) est positif, \(OM' = – k OM\) si \(k\) est négatif
-

Par une homothétie de rapport \(k\) (\(k\) étant un nombre réel), l'image

  • D'une droite est une droite qui lui est parallèle.
  • D'un segment \([MN]\) est un segment \([M'N']\) de longueur \(k MN\) (si \(k > 0\)) ou \(–k MN\) (si \(k < 0\)).

Le carré \(A'B'C'D'\) est l'image du carré \(ABCD\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(−0,5\).

-

Si une figure \(\mathcal{F}'\) est l'image d'une figure \(\mathcal{F}\) par une homothétie de rapport \(k\neq 0\), alors :

  • Si \(k<−1\) ou \(k>1\), \(\mathcal{F}'\) est un agrandissement de \(\mathcal{F}\) de rapport \(-k\) (si \(k<−1\)) ou \(k\) si \(k>1\).
  • Si \(−1<k<1\), \(\mathcal{F}'\) est une réduction de \(\mathcal{F}\) de rapport \(-k\) (si \(k<0\)) ou \(k\) si \(k>0\).

Dans l'exemple précédent, le carré \(A'B'C'D'\) est une réduction du carré ABCD de rapport \(\dfrac{1}{2}\).

C

Triangles et droites parallèles

Théorème de Thalès

Soit un triangle \(ABC\) et soient deux points \(M\) et \(N\) respectivement sur les droites \((AB)\) et \((MN)\).

Si \((MN)\) et \((BC)\) sont parallèles, alors :

\(\displaystyle{\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}}\)

-

Réciproque du théorème de Thalès

Soient cinq points \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{B}\), \(\displaystyle{C}\), \(\displaystyle{M}\) et \(\displaystyle{N}\). Si,

  • \(M\in (AB)\)
  • \(N\in (AC)\)
  • \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{M}\) et \(\displaystyle{B}\) sont alignés dans le même ordre que \(\displaystyle{A}\), \(\displaystyle{N}\) et \(\displaystyle{C}\)
  • \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) ou \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MN}{BC}\) ou \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}\)

Alors, les droites \(\displaystyle{\left( MN \right)}\) et \(\displaystyle{\left( BC \right)}\) sont parallèles.

On considère la configuration suivante dans laquelle :

  • \(\displaystyle{H}\), \(\displaystyle{M}\) et \(\displaystyle{A}\) sont alignés
  • \(\displaystyle{L}\), \(\displaystyle{M}\) et \(\displaystyle{T}\) sont alignés
  • \(HM=4\) cm, \(MA=3\), \(LM=6\) cm et \(MT=8\) cm

On a donc :

  • \(A\in (HM)\)
  • \(L\in (MT)\)
  • \(\displaystyle{H}\), \(\displaystyle{M}\) et \(\displaystyle{A}\) sont alignés dans le même sens que \(\displaystyle{L}\), \(\displaystyle{M}\) et \(\displaystyle{T}\)
  • \(\dfrac{ML}{MT}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\) et \(\dfrac{MA}{MH}=\dfrac{3}{4}=\dfrac{ML}{MT}\)

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites \(\displaystyle{\left( HT \right)}\) et \(\displaystyle{\left( LA \right)}\) sont donc parallèles.

-

Proportionnalité des longueurs et des aires

Avec les mêmes notations que pour le théorème de Thalès, posons

\(\displaystyle{k =\dfrac{AM}{AB}}\)

Les relations suivantes sont alors vérifiées :

  • \(\displaystyle{AM = k \times AB}\)
  • \(\displaystyle{AN = k \times AC}\)
  • \(\displaystyle{MN = k \times BC}\)
  • \(\displaystyle{\mathcal{A}ire\left(AMN\right) = k^{2} \times \mathcal{A}ire\left(ABC\right)}\)
-

Avec les notations précédentes,

Si \(\displaystyle{k \gt 1}\), le triangle \(\displaystyle{AMN}\) est un agrandissement du triangle \(\displaystyle{ABC}\).
Si \(\displaystyle{k \lt 1}\), le triangle \(\displaystyle{AMN}\) est une réduction du triangle \(\displaystyle{ABC}\).

III

Trigonométrie

Trigonométrie dans un triangle rectangle

On considère un triangle \(\displaystyle{ABC}\) rectangle en \(\displaystyle{A}\).

On note \(\alpha\) l'angle \(\widehat{ABC}\).

Alors, on définit :

Cosinus Sinus Tangente
\(\cos(\alpha)=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) \(\sin(\alpha)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\) \(\tan(\alpha)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)
\(\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}\) \(\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}\) \(\tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}\)
-

On peut se servir de la trigonométrie dans un triangle rectangle pour calculer des longueurs de côtés ou des valeurs approchées de mesures d'angles.

On considère le triangle suivant :

-

On a donc :

\(\sin\left(\widehat{SRD}\right)=\dfrac{SD}{RD}\)

\(\sin\left(\widehat{SRD}\right)=\dfrac{2,5}{6,5}\)

\(\sin\left(\widehat{SRD}\right)=\dfrac{5}{13}\)

En utilisant la touche \(\sin^{−1}\) (ou arcsin) de la calculatrice, on obtient :

\(\widehat{SRD}\approx 22,6°\)

Avec les notations de la définition précédente, on a :

Relations trigonométriques fondamentales
\(\displaystyle{\cos^2\left(\alpha\right)+\sin^2\left(\alpha\right)=1}\)

Pour tout angle aigu \(\displaystyle{\alpha }\) différent de 90° :

\(\displaystyle{\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)}}\)

Attention, si la position de l'angle \(\displaystyle{\alpha}\) change, les côtés, adjacent et opposé, sont inversés.

-