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Géométrie plane

Droites et points remarquables dans un triangle

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Théorème de Pythagore et réciproque

Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si \(\displaystyle{BC^2=AC^2+AB^2}\).

Médiane issue de l'angle droit

  • Si ABC est un triangle rectangle en A, alors la longueur de sa médiane issue du sommet A est égale à la moitié de son hypoténuse.
  • Réciproquement, si la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A.
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Cercle circonscrit

  • Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.
  • Réciproquement, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un de ses côtés, alors le triangle est rectangle.
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Caractérisation d'un parallélogramme

Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un parallélogramme, si et seulement si :
  • ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;

ou

  • ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur ;

ou

  • deux de ses côtés sont parallèles et de même longueur ;

ou

  • ses diagonales se coupent en leur milieu.

Caractérisation d'un losange à partir d'un quadrilatère quelconque

Un quadrilatère est un losange, si et seulement si, tous ses côtés sont de même longueur.

Caractérisation d'un losange à partir d'un parallélogramme

Un parallélogramme est un losange, si et seulement si :
  • deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur ;

ou

  • ses diagonales sont perpendiculaires.

Caractérisation d'un rectangle à partir d'un quadrilatère quelconque

Un quadrilatère est un rectangle, si et seulement si, il possède trois angles droits.

Caractérisation d'un rectangle d'un parallélogramme

Un parallélogramme est un rectangle, si et seulement si :
  • un de ses angles est droit ;

ou

  • ses diagonales sont de même longueur.

Caractérisation d'un carré

Si un quadrilatère est à la fois losange et rectangle alors ce quadrilatère est un carré.

Aires des figures usuelles

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