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Calculer la probabilité d'un événement

Méthode 1

En utilisant le dénombrement

Lorsque l'on est dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement peut être calculée en utilisant le dénombrement.

On tire au hasard une boule dans une urne contenant 100 boules numérotées de 1 à 100. Calculer la probabilité que le numéro tiré comporte au moins un chiffre 2.

Etape 1

Nommer l'événement

On donne un nom à l'événement (généralement, une lettre majuscule).

Par exemple, A : "l'élève est une fille".

On appelle B l'événement "le numéro tiré comporte au moins un chiffre 2".

On cherche \(\displaystyle{p\left(B\right)}\).

Etape 2

Énoncer la formule

On vérifie que l'on est dans une situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire que toutes les issues ont la même probabilité de se produire.

On a alors \(\displaystyle{p\left(A\right) = \dfrac{Card\left(A\right)}{Card\left(\Omega\right)}}\), avec :

  • \(\displaystyle{Card\left(A\right)}\), abréviation de "cardinal", est le nombre d'éventualités (ou issues) réalisant l'événement A.
  • \(\displaystyle{\Omega}\) est l'univers.
  • \(\displaystyle{Card\left(\Omega\right)}\) est le nombre total d'issues de l'expérience.

La situation est équiprobable, chaque boule ayant autant de chances d'être tirée qu'une autre.

Ainsi :

\(\displaystyle{p\left(B\right) = \dfrac{Card\left(B\right)}{Card\left(\Omega\right)}}\)

Etape 3

Dénombrer les issues favorables

On calcule \(\displaystyle{Card\left(A\right)}\), le nombre d'issues de l'expérience qui réalisent l'événement A.

On détermine le nombre d'issues possibles pour lesquelles B est réalisé. B est réalisé lorsque l'on tire les boules :

2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.

Donc :

\(\displaystyle{Card\left(B\right) = 19}\)

Etape 4

Dénombrer les issues possibles

On calcule \(\displaystyle{Card\left(\Omega\right)}\), le nombre d'issues totales de l'expérience.

Il y a 100 issues possibles pour cette expérience.

Ainsi :

\(\displaystyle{Card\left(\Omega\right) = 100}\)

Etape 5

Calculer la probabilité

On effectue le calcul.

La probabilité trouvée doit appartenir à l'intervalle \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\).

Ainsi :

\(\displaystyle{p\left(B\right) = \dfrac{19}{100} = 0,19}\)

Méthode 2

En utilisant une formule

La probabilité d'un événement peut parfois être calculée en utilisant les formules du cours.

Dans une classe, on peut pratiquer deux sports, le tennis et le basket. 35% des élèves jouent au tennis, \(\displaystyle{\dfrac{1}{5}}\) des élèves jouent au basket et 60% des élèves ne pratiquent aucun sport.

On choisit un élève au hasard, quelle est la probabilité qu'il joue au tennis et au basket ?

Etape 1

Exprimer l'événement en fonction d'événements connus

On exprime l'événement A en fonction d'événements dont on connaît déjà la probabilité.

Par exemple :

  • \(\displaystyle{A = \overline{B}}\)
  • \(\displaystyle{A = B \cup C}\)
  • \(\displaystyle{A = B \cap C}\)

On note B l'événement "l'élève joue au basket" et T l'événement "l'élève joue au tennis".

On cherche \(\displaystyle{p\left(B \cap T\right)}\), la probabilité que l'élève joue à la fois au tennis et au basket.

Etape 2

Réciter la formule nécessaire

On connaît les formules suivantes :

  • \(\displaystyle{p\left(\overline B\right) = 1- p\left(B\right)}\)
  • \(\displaystyle{p\left(B \cup C\right) = p\left(B\right) +p\left(C\right) -p\left(B \cap C\right)}\)
  • \(\displaystyle{p\left(B \cap C\right) = p\left(B\right) +p\left(C\right) -p\left(B \cup C\right)}\)

On sait que \(\displaystyle{p\left(B \cap T\right) = p\left(B\right) +p\left(T\right) -p\left(B \cup T\right)}\).

Etape 3

Rappeler la probabilité connue

On rappelle la valeur de la probabilité connue. Elle peut être donnée dans l'énoncé ou dans les questions précédentes.

D'après l'énoncé :

  • \(\displaystyle{p\left(T\right) =35\% = 0,35}\)
  • \(\displaystyle{p\left(B\right) = \dfrac{1}{5} = 0,2}\)

De plus :

\(\displaystyle{p\left( \overline{B\cup T} \right)= 0,6}\)

Donc :

\(\displaystyle{p\left(B \cup T \right)=1-p\left( \overline{B\cup T} \right)= 1- 0,6=0,4}\)

Etape 4

Effectuer le calcul

On calcule enfin la probabilité de l'événement cherché.

On en déduit que :

\(\displaystyle{p\left(B \cap T\right) = 0,35 + 0,2 - 0,4}\)

Donc :

\(\displaystyle{p\left(B \cap T\right) = 0,15}\)

La probabilité que l'élève choisi au hasard joue au tennis et au basket est de 0,15.