Avec une loi continue, la probabilité d'un événement est calculée à l'aide d'une intégrale.
On considère la variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda = \dfrac{1}{3}}\).
Calculer \(\displaystyle{p\left(X \geq 6\right)}\).
Déterminer une densité de X
On donne une densité f de X sur un intervalle I.
La variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda = \dfrac{1}{3}}\). Donc une densité de X est f avec :
\(\displaystyle{\forall x \in \left[ 0 ; +\infty \right[}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}}\)
Réciter la formule
On exprime alors la probabilité en fonction d'une intégrale :
- \(\displaystyle{p\left(a \leq X \leq b\right) = \int_a^b f\left(t\right) dt}\)
- \(\displaystyle{p\left( X \leq a\right) = \int_{x_0}^a f\left(t\right) dt}\), où \(\displaystyle{x_0}\) est la borne inférieure de I
- \(\displaystyle{p\left( X \geq a\right) = 1 - p\left( X \leq a\right)= 1- \int_{x_0}^a f\left(t\right) dt}\)
Ainsi, on a :
\(\displaystyle{p\left( X \geq 6\right) = 1 - p\left( X \leq 6\right)= 1- \int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx}\)
Calculer l'intégrale et conclure
On calcule alors l'intégrale et on conclut sur la valeur de la probabilité.
On calcule l'intégrale :
\(\displaystyle{\int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx = \left[ -e^{-\frac{1}{3}x} \right]_0^6}\)
\(\displaystyle{\int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx =1-e^{-2}}\)
On en déduit que :
\(\displaystyle{p\left(X \geq 6 \right) = 1- \left(1-e^{-2}\right)}\)
On obtient finalement :
\(\displaystyle{p\left(X \geq 6 \right) = e^{-2}}\)