Calculer le module et un argument d'un nombre complexe Méthode

Afin de calculer le module \(\displaystyle{\left| z \right|}\) et un argument \(\displaystyle{\theta}\) d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique \(\displaystyle{z = a+ib}\). On applique ensuite les formules du cours.

Déterminer le module et un argument du nombre complexe z suivant :

\(\displaystyle{z = \sqrt 3 +3i}\)

Etape 1

Identifier \(\displaystyle{Re\left(z\right)}\) et \(\displaystyle{Im\left(z\right)}\)

Si cela n'est pas déjà fait, on simplifie l'écriture du nombre complexe z afin d'obtenir sa forme algébrique \(\displaystyle{z =a+ib}\), avec a et b deux réels.

On peut ainsi facilement isoler la partie réelle et la partie imaginaire de z, on obtient :

\(\displaystyle{Re\left(z\right) = a}\)
\(\displaystyle{Im\left(z\right) = b}\)

z est déjà écrit sous forme algébrique.

On a :

\(\displaystyle{Re\left(z\right) = \sqrt3}\)
\(\displaystyle{Im\left(z\right) = 3}\)

Etape 2

Calculer le module

On rappelle que le module d'un nombre complexe \(\displaystyle{z =a+ib}\) est :

\(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}}\)

On calcule le module et on simplifie son expression si possible.

On sait que, pour tout nombre complexe \(\displaystyle{z= a+ib}\) :

\(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}}\)

Ici, on obtient :

\(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+3^2}}\)

\(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{ 3+9}}\)

\(\displaystyle{\left| z \right| = \sqrt{12}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\left| z \right| = 2\sqrt{ 3}}\)

Etape 3

Écrire les égalités sur cos et sin

On rappelle qu'un argument \(\displaystyle{\theta}\) d'un nombre complexe z vérifie :

\(\displaystyle{\cos\left(\theta\right) = \dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(\theta\right) = \dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}}\)

On écrit ces égalités pour le complexe recherché.

Soit \(\displaystyle{\theta}\) un argument de z. On sait que :

\(\displaystyle{\cos\left(\theta\right) = \dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(\theta\right) = \dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}}\)

Donc, ici :

\(\displaystyle{\cos\left(\theta\right) = \dfrac{\sqrt 3}{2\sqrt 3}=\dfrac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(\theta\right) = \dfrac{3}{2\sqrt 3} =\dfrac{\sqrt 3}{2}}\)

Etape 4

Déterminer un argument

À l'aide d'un cercle trigonométrique, on détermine la valeur de \(\displaystyle{\theta }\) appartenant à \(\displaystyle{\left] -\pi ; \pi \right]}\) qui correspond aux valeurs précédentes de \(\displaystyle{\cos\left(\theta\right)}\) et \(\displaystyle{\sin\left(\theta\right)}\).