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Démontrer grâce aux angles orientés le parallélisme ou l'orthogonalité

Méthode 1

Démontrer que deux droites sont parallèles

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

On considère la figure suivante :

-

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Etape 1

Énoncer le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

Etape 2

Calculer une mesure de l'angle

On calcule une mesure de l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)}\).

D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BE}\right)+ \left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{EC}\right)+\left(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{CD}\right)}\)

On détermine une mesure de chacun des angles :

  • \(\displaystyle{ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BE}\right)=\dfrac{\pi}{2} }\)
  • \(\displaystyle{ \left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{EC}\right)=\left(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{EB}\right)+\left(\overrightarrow{EB};\overrightarrow{EC}\right)= \pi +\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{5\pi}{4}}\)
  • \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{CD}\right) =\left(\overrightarrow{EC};\overrightarrow{CE}\right)+\left(\overrightarrow{CE};\overrightarrow{CD}\right)= \pi -\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}}\)

On en déduit qu'une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)}\) est :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =\dfrac{\pi}{2}+ \dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}}\)

Une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)}\) est donc :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = 2\pi}\)

Etape 3

Conclure

Si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right) = 0 +k\pi}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\), alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

On a :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = 2\pi = 0 \left[ \pi \right]}\)

On en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Méthode 2

Démontrer que trois points sont alignés

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right) = 0 +k\pi}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

On considère le carré ABCD, E le milieu de [BD] et BDF un triangle équilatéral.

-

Démontrer, en utilisant les angles orientés, que les points A, E et F sont alignés.

Etape 1

Énoncer le cours

On rappelle que trois points A, B et C sont alignés si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right) = 0 +k\pi}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

Les trois points A, E et F sont alignés si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AE} ;\overrightarrow{AF}\right) = 0 +k\pi}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

Etape 2

Calculer une mesure de l'angle

On calcule une mesure de l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right)}\).

D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) = \left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD}\right)+ \left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{DE}\right)+\left(\overrightarrow{DE};\overrightarrow{EF}\right)}\)

On détermine une mesure de chacun des angles :

  • La droite (AE) est la bissectrice de l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}\right)}\), donc \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}\right) = \dfrac{\pi}{4}}\)
  • La droite (DE) est la bissectrice de l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{DA} ; \overrightarrow{DC}\right)}\), donc \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DE}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right) = \dfrac{\pi}{4}}\). D'où \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{DE}\right)=\left(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{DA}\right) +\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DE}\right) =\pi+ \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}}\)
  • \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{DE};\overrightarrow{EF}\right) =\dfrac{\pi}{2}}\)

On en déduit qu'une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right)}\) est :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) = \dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{5\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}}\)

Une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right)}\) est donc :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) =2 \pi}\)

Etape 3

Conclure

Si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right) = 0 +k\pi}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\), alors les points A, B et C sont alignés.

On a :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF}\right) = 2\pi = 0 +2\pi\ \left[ 2\pi \right]}\)

On en conclut que les droites A, E et F sont alignés.

Méthode 3

Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\) avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

On considère la figure suivante :

-

Montrer que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires.

Etape 1

Enoncer le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\) avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

Deux droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\) avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\).

Etape 2

Calculer une mesure de l'angle

On calcule l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)}\).

D'après la relation de Chasles appliquée aux angles orientés :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}\right)+ \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD}\right)+\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DE}\right)}\)

On détermine une mesure de chacun des angles :

  • \(\displaystyle{ \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC }\right)=\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC }\right)= \pi-\dfrac{\pi}{4}= \dfrac{3\pi}{4}}\)
  • \(\displaystyle{ \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CD}\right)= \pi + \dfrac{\pi}{3} =\dfrac{4\pi}{3}}\)
  • \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DE}\right) =\left(\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{DC};\overrightarrow{DE}\right)= \pi -\dfrac{7\pi}{12} =\dfrac{5\pi}{12}}\)

On en déduit qu'une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right)}\) est :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{3\pi}{4}+ \dfrac{4\pi}{3}+\dfrac{5\pi}{12}}\)

Soit :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{9\pi}{12}+ \dfrac{16\pi}{12}+\dfrac{5\pi}{12}}\)

Une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right)}\) est donc :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{30\pi}{12}}\)

Etape 3

Conclure

Si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{CD}\right) =\dfrac{\pi}{2} +k\pi}\), avec \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\). Alors les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

On a :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{DE}\right) = \dfrac{24\pi}{12}+\dfrac{6\pi}{12} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}\ \left[ 2\pi \right]}\)

On en conclut que les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires.