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Démontrer que deux droites sont parallèles

Méthode 1

Avec des vecteurs normaux de chaque droite

Deux droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.

Soient \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) les droites d'équations cartésiennes respectives \(\displaystyle{2x-y+3=0}\) et \(\displaystyle{-4x+2y+7=0}\).

Démontrer que \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles.

Etape 1

Déterminer un vecteur normal de chaque droite

D'après le cours, si une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) est un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

On détermine les coordonnées d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) normal à \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) normal à \(\displaystyle{\left(d'\right)}\).

On sait qu'une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) est un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Or la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne : \(\displaystyle{2x-y+3=0}\).

Donc un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr -1 \end{pmatrix}}\).

De même la droite \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) a pour équation cartésienne : \(\displaystyle{-4x+2y+7=0}\).

Donc un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -4 \cr\cr 2 \end{pmatrix}}\).

Etape 2

Démontrer la colinéarité des vecteurs

D'après le cours, deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si et seulement si :

\(\displaystyle{xy'-x'y = 0}\)

En utilisant cette formule, on démontre que les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires.

Deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si \(\displaystyle{xy' -x'y=0}\).

On calcule :

\(\displaystyle{2\times 2 - \left(-4\right) \times \left(-1\right) =4-4= 0}\)

Donc les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires.

Etape 3

Conclure

Si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles.

Donc les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles.

Méthode 2

Avec des vecteurs directeurs de chaque droite

Deux droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Soient \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) les droites d'équations cartésiennes respectives \(\displaystyle{5x+2y+1=0}\) et \(\displaystyle{-15x-6y+7=0}\).

Démontrer que \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur de chaque droite

D'après le cours, si une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

On détermine les coordonnées d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\).

On sait qu'une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Or la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{5x+2y+1=0}\).

Donc un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 5 \end{pmatrix}}\).

De même la droite \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{-15x-6y+7=0}\).

Donc un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr -15 \end{pmatrix}}\).

Etape 2

Démontrer la colinéarité des vecteurs

D'après le cours, deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si et seulement si :

\(\displaystyle{xy'-x'y = 0}\)

En utilisant cette formule, on démontre que les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires.

Deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si \(\displaystyle{xy' -x'y=0}\).

On calcule :

\(\displaystyle{\left(-2\right)\times \left(-15\right) - 6 \times 5 =30-30= 0}\)

Donc les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires.

Etape 3

Conclure

Si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles.

Donc les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles.

Méthode 3

Avec un vecteur normal et un vecteur directeur

Deux droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles si un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont orthogonaux.

Soient \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) les droites d'équations cartésiennes respectives \(\displaystyle{4x-6y+11=0}\) et \(\displaystyle{-12x+18y+5=0}\).

Démontrer que \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles.

Etape 1

Déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal

D'après le cours, si une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) est un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

On détermine les coordonnées d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\) normal à \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x' \cr\cr y' \end{pmatrix}}\) directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\).

On sait qu'une droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{ax+by+c=0}\) alors \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -b \cr\cr a \end{pmatrix}}\) est un vecteur directeur et \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \end{pmatrix}}\) un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\).

Or la droite \(\displaystyle{\left(d\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{4x-6y+11=0}\).

Donc un vecteur normal de \(\displaystyle{\left(d\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 4 \cr\cr -6 \end{pmatrix}}\).

De même la droite \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) a pour équation cartésienne \(\displaystyle{-12x+18y+5=0}\).

Donc un vecteur directeur de \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) est \(\displaystyle{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -18 \cr\cr -12 \end{pmatrix}}\).

Etape 2

Démontrer l'orthogonalité des vecteurs

On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre, c'est-à-dire si et seulement si le produit scalaire de ces vecteurs est nul.

On calcule donc le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}\).

D'après le cours, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre, c'est-à-dire si et seulement si le produit scalaire de ces vecteurs est nul.

Ici :

\(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = 4\times\left(-18\right) +\left(-6\right) \times \left(-12\right)}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = -72 + 72}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u} = 0}\)

Etape 3

Conclure

Si leur produit scalaire est nul, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles.

Le produit scalaire \(\displaystyle{\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}}\) étant nul, les droites \(\displaystyle{\left(d\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right)}\) sont parallèles.