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Déterminer la forme canonique d'un trinôme

Méthode 1

En utilisant la formule

Soient a, b et c trois réels avec a non nul. La forme canonique du trinôme \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) est \(\displaystyle{f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}\), avec :

  • \(\displaystyle{\alpha=\dfrac{-b}{2a}}\)
  • \(\displaystyle{\beta=f\left(\alpha\right)=-\dfrac{\Delta}{4a} }\)

S'il n'est pas demandé de détailler la mise sous forme canonique, on peut utiliser ces formules pour déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.

On considère la fonction trinôme du second degré définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^2-4x+1}\)

Donner, en utilisant les formules du cours, la forme canonique de f.

Etape 1

Calculer \(\displaystyle{\alpha}\)

Si le trinôme, est de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\), on identifie les coefficients a et b.

On a \(\displaystyle{\alpha=-\dfrac{b}{2a}}\).

Ici, on a \(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^2-4x+1}\). Ainsi :

  • \(\displaystyle{a=2}\)
  • \(\displaystyle{b=-4}\)

On calcule :

\(\displaystyle{\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\times2}=\dfrac{4}{4}=1}\)

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{\beta}\)

On a :

\(\displaystyle{\beta=f\left(\alpha\right)=-\dfrac{\Delta}{4a}}\)

On calcule donc \(\displaystyle{\beta}\) en utilisant la valeur du discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) (notamment s'il a déjà été calculé avant) ou en calculant \(\displaystyle{f\left(\alpha\right)}\).

On ne connaît pas déjà la valeur de \(\displaystyle{\Delta}\), on calcule donc :

\(\displaystyle{\beta=f\left(\alpha\right)=f\left(1\right)=2\times1^2-4\times1+1=-1}\)

Etape 3

Conclure

Le trinôme a pour forme canonique \(\displaystyle{f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}\). On remplace les valeurs de \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta}\) obtenues dans la formule.

Or, on sait que le trinôme a pour forme canonique \(\displaystyle{f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}\).

On obtient ainsi :

\(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2\left(x-1\right)^2-1}\)

Méthode 2

En la retrouvant par le calcul

A l'aide d'une technique de calcul précise, on sait déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré.

On considère la fonction trinôme du second degré définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right)=3x^2-12x+18}\)

Donner, en la retrouvant par le calcul, la forme canonique de f.

Etape 1

Factoriser par a

Le trinôme a pour expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\)

On factorise d'abord l'expression par a :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)}\)

On factorise l'expression par \(\displaystyle{a=3}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =3\left(x^2-4x+6\right)}\)

Etape 2

Faire apparaître une identité remarquable

On remarque que :

\(\displaystyle{x^2+\dfrac{b}{a}x= x^2 +2 \times \dfrac{b}{2a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{4a^2} = \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a^2}}\)

On remplace dans l'expression de f et on obtient :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =a\left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right]}\)

On sort les deux termes constants et on les met sur le même dénominateur.

On obtient finalement :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =a \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}}\)

On remarque que :

\(\displaystyle{x^2-4x= x^2 -2 \times2 \times x +4-4 = \left(x-2\right)^2 - 4}\)

On remplace dans l'expression de f et on obtient :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =3\left[ \left(x-2\right)^2-4+6\right]}\)

Soit \(\displaystyle{f\left(x\right) =3\left[ \left(x-2\right)^2+2\right]}\)

On sort le terme constant de la parenthèse, on obtient finalement :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =3 \left(x-2\right)^2+6}\)

Etape 3

Conclure

Le trinôme a pour forme canonique, \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a}}\).

On obtient donc :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) =3 \left(x-2\right)^2+6}\)