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Déterminer le sinus ou le cosinus des angles associés

Les formules des angles associés permettent de calculer les valeurs de cosinus ou de sinus d'angles qui ne font pas partie des angles remarquables.

À l'aide des formules des angles associés, donner la valeur de :

\(\displaystyle{\cos \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)}\)

Etape 1

Reconnaître l'angle associé

On reconnaît que l'angle \(\displaystyle{\beta}\) que l'on cherche à déterminer peut s'écrire comme étant un angle associé, soit, avec \(\displaystyle{\alpha}\) un angle remarquable :

  • \(\displaystyle{\beta =- \alpha}\)
  • \(\displaystyle{\beta = \pi + \alpha}\)
  • \(\displaystyle{\beta = \pi - \alpha}\)
  • \(\displaystyle{\beta = \dfrac{\pi}{2} + \alpha}\)
  • \(\displaystyle{\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha}\)

On remarque que :

\(\displaystyle{\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}}\)

Etape 2

Réciter la formule du cours

D'après le cours, on connaît les formules des angles associées, récapitulées sur le cercle trigonométrique suivant :

-

On sélectionne la formule adéquate.

Il n'est pas utile de connaître par cœur toutes les formules des angles associés.

En revanche, il faut savoir les retrouver. Pour ce faire, dessiner un cercle trigonométrique est très utile car il permet de visualiser rapidement la valeur du cosinus ou du sinus de l'angle associé recherché par rapport à la valeur de \(\displaystyle{\cos\left( x\right)}\) ou \(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\).

D'après les formules des angles associés, on sait que :

\(\displaystyle{\cos \left(\pi + x\right) = -\cos\left( x\right)}\)

Donc, ici :

\(\displaystyle{\cos \left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{3} \right)}\)

Etape 3

Donner la valeur connue du cosinus ou du sinus

On rappelle la valeur du cosinus ou du sinus remarquable dans le membre de droite de l'égalité.

La valeur des cos et sin des angles remarquables est donnée dans le tableau suivant :

x 0 \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{6}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) 0 \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\) 1
\(\displaystyle{\cos\left(x\right)}\) 1 \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\) 0

Or on sait que \(\displaystyle{\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}\).

Etape 4

Appliquer la formule

On applique la formule de l'angle associé. On en déduit la valeur de l'angle recherché.

On en déduit que :

\(\displaystyle{\cos \left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}}\)

Par conséquent :

\(\displaystyle{\cos \left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}}\)