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Déterminer les antécédents d'un nombre par une fonction par le calcul Méthode

Un réel x est un antécédent d'un réel y par une fonction f si et seulement si \(\displaystyle{x\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\).

Pour tout réel x, on a :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = -\dfrac{1}{2}x+3}\)

Déterminer l'(es) éventuel(s) antécédent(s) de 4 par f.

Etape 1

Identifier l'expression de f

Dans l'énoncé ou dans les questions précédentes, on cherche l'expression de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) pour tout réel x appartenant au domaine de définition de f.

D'après l'énoncé, pour tout réel x, \(\displaystyle{f\left(x\right)= - \dfrac{1}{2}x+3}\).

Etape 2

Poser l'équation

Si l'on cherche les antécédents de \(\displaystyle{\alpha}\) par f, on doit résoudre dans \(\displaystyle{D_f}\) l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = \alpha}\).

Les antécédents de 4 par la fonction f sont les éventuelles solutions de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 4}\) dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Etape 3

Résoudre l'équation

On résout l'équation. Les solutions trouvées sont les antécédents de \(\displaystyle{\alpha}\) par f.

Un réel \(\displaystyle{\alpha}\) peut avoir un antécédent, plusieurs antécédents ou aucun antécédent par une fonction f. Cela dépend du nombre de solutions de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=\alpha}\), avec \(\displaystyle{x\in D_f}\).

Pour résoudre l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = \alpha}\), si l'on connaît plusieurs expressions \(\displaystyle{f\left(x\right)}\), il peut être utile de sélectionner l'expression la plus appropriée (celle qui rend la résolution de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = \alpha}\) la plus simple possible).

On résout l'équation dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = 4}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}x+3=4}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}x=1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x=-2}\)

Le seul antécédent de 4 par f est −2.