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Déterminer les coordonnées d'un point pour respecter une égalité vectorielle

Afin qu'un point respecte une égalité vectorielle, ses coordonnées doivent elles-même être solutions d'équations, que l'on peut déterminer à partir de l'équation vectorielle.

Soit le repère \(\displaystyle{\left(O;I,J\right)}\). On donne les points \(\displaystyle{A\left(2;4\right)}\), \(\displaystyle{B\left(1;-3\right)}\) et \(\displaystyle{C \left(5;-5\right)}\).

Déterminer les coordonnées du point D tel que \(\displaystyle{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}}\).

Etape 1

Nommer les coordonnées du point inconnu

On donne un nom aux coordonnées du point cherché (en général, x et y)

On pose \(\displaystyle{D\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}}\).

Etape 2

Ecrire l'égalité vectorielle demandée

On écrit l'égalité vectorielle donnée dans l'énoncé.

D'après l'énoncé, on a :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}}\)

Etape 3

Écrire les coordonnées des vecteurs en présence

On écrit les coordonnées de chacun des vecteurs en présence dans l'équation.

On a :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \cr\cr y_B-y_A \end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1-2\cr\cr -3-4\end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\cr\cr -7\end{pmatrix}}\)

De plus :

\(\displaystyle{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x_D - x_C \cr\cr y_D-y_C\end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x-5\cr\cr y-\left(-5\right)\end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix} x-5\cr\cr y+5\end{pmatrix}}\)

Etape 4

En déduire la ou les équation(s) à résoudre

On en déduit les deux équations à résoudre sur les coordonnées des vecteurs.

On en déduit que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Leftrightarrow\begin{cases} -1 = x-5 \cr \cr -7 = y+5 \end{cases}}\)

Etape 5

Résoudre le système

On résout le système.

On résout le système et on obtient :

\(\displaystyle{\begin{cases} -1 = x-5 \cr \cr -7 = y+5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} x = 4 \cr \cr y = -12 \end{cases}}\)

Etape 6

Conclure

On conclut en donnant les coordonnées du point recherché.

On en déduit que le point D a pour coordonnées \(\displaystyle{\left(4;-12\right)}\).