Se connecter
ou

Donner l'allure de la courbe d'une fonction trinôme

Une fonction trinôme est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\). Sa courbe représentative est une parabole, on peut en tracer une allure.

On considère la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=-x^2+3x+4}\). Tracer une allure de sa courbe représentative.

Etape 1

Calculer les coordonnées du sommet

On calcule les coordonnées du sommet de la parabole :

  • Son abscisse vaut \(\displaystyle{\dfrac{-b}{2a}}\)
  • Son ordonnée vaut \(\displaystyle{f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)}\)

On calcule les coordonnées du sommet de la parabole :

  • Son abscisse vaut \(\displaystyle{\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-3}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{3}{2}}\)
  • Son ordonnée vaut \(\displaystyle{f\left(\dfrac{-b}{2a}\right)=f\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+3\times\dfrac{3}{2}+4=-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{2}+4=\dfrac{25}{4}}\)
Etape 2

Déterminer le sens de variation de f

On détermine le signe de a et on conclut sur le sens de variation de la fonction f :

  • Si \(\displaystyle{a>0}\) alors f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left] - \infty; \dfrac{-b}{2a}\right]}\) et strictement croissante sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{-b}{2a}; + \infty\right[}\)
  • Si \(\displaystyle{a<0}\) alors f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left] - \infty; \dfrac{-b}{2a}\right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{-b}{2a}; + \infty\right[}\)

Ici, a = −1 donc \(\displaystyle{a<0}\).

Ainsi, f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left] - \infty; \dfrac{3}{2}\right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{3}{2}; + \infty\right[}\).

Etape 3

Déterminer les intersections avec l'axe des abscisses

On détermine les éventuels points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. Pour cela, on résout l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=0}\).

Cela revient à déterminer les éventuelles racines du trinôme.

On calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) et on conclut selon son signe :

  • Si \(\displaystyle{\Delta<0}\), la courbe n'a pas d'intersection avec l'axe des abscisses.
  • Si \(\displaystyle{\Delta=0}\), la courbe coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse \(\displaystyle{\dfrac{-b}{2a}}\).
  • Si \(\displaystyle{\Delta>0}\), la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points d'abscisses respectives \(\displaystyle{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) et \(\displaystyle{\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\).

Les éventuels points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses ont pour abscisses les racines éventuelles du trinôme.

Pour les déterminer, on calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) :

\(\displaystyle{\Delta=b^2-4ac=3^2-4\times\left(-1\right)\times4=9+16=25=5^2}\)

Ici, \(\displaystyle{\Delta>0}\) donc le trinôme admet deux racines :

  • \(\displaystyle{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3-5}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{-8}{-2}=4}\)
  • \(\displaystyle{x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3+5}{2\times\left(-1\right)}=\dfrac{2}{-2}=-1}\)

La courbe et l'axe des abscisses ont ainsi deux points d'intersection, qui sont les points d'abscisse −1 et 4.

Etape 4

Tracer l'allure de la courbe

On peut placer sur un repère le sommet de la parabole, ainsi que les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

On trace alors une allure de la parabole, en respectant le sens de variation de la fonction.

On peut enfin tracer l'allure de la courbe en respectant :

  • Les coordonnées du sommet
  • Les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses
  • Le sens de variation de f
-