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Donner les racines d'un trinôme du second degré

Les racines réelles d'un trinôme P défini pour tout réel x par \(\displaystyle{P\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) sont les réels x tels que \(\displaystyle{P\left(x\right)=0}\)

Un trinôme admet 0, 1 ou 2 racines que l'on sait déterminer.

Déterminer les racines réelles du trinôme : \(\displaystyle{P\left(x\right) = 2x^2 −5x −3}\)

Etape 1

Identifier a, b et c

Le trinôme est de la forme \(\displaystyle{P\left(x\right)=ax^2+bx+c}\)

a est le coefficient de x2, b est le coefficient de x et c est le terme constant.

Pour le trinôme \(\displaystyle{P\left(x\right)=2x^2-5x-3}\), on a :

  • a = 2,
  • b = −5
  • c = −3
Etape 2

Calculer le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\)

On a \(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\).

On calcule le discriminant \(\displaystyle{\Delta}\) :

\(\displaystyle{\Delta = b^{2} - 4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta= \left(-5\right)^2 -4\times 2 \times \left(-3\right)}\)

\(\displaystyle{\Delta= 25+24}\)

\(\displaystyle{\Delta=49}\)

Etape 3

Conclure selon la valeur de \(\displaystyle{\Delta}\)

Cas 1

\(\displaystyle{\Delta>0}\)

Le trinôme admet deux racines distinctes, notées \(\displaystyle{x_{1}}\) et \(\displaystyle{x_{2}}\)

  • \(\displaystyle{x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
  • \(\displaystyle{x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}\)
Cas 2

\(\displaystyle{\Delta = 0}\)

Le trinôme admet une racine unique, notée \(\displaystyle{x_{0}}\), et appelée "racine double".
\(\displaystyle{x_{0} = \dfrac{-b}{2a}}\)

Cas 3

\(\displaystyle{\Delta < 0}\)

Le trinôme n'a pas de racine réelle.

\(\displaystyle{\Delta >0}\) donc le trinôme admet deux racines distinctes :

\(\displaystyle{\begin{align}x_{1} &= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-5\right)+\sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{5+7}{4} \\ &= 3\end{align}}\)

\(\displaystyle{\begin{align}x_{2} &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\ &= \dfrac{-\left(-5\right)-\sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{5-7}{4} \\ &= \dfrac{-1}{2}\end{align}}\)