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Etudier l'intersection de deux droites

Lorsque deux droites ne sont ni parallèles ni confondues, elles sont sécantes en un point. On peut déterminer les coordonnées de ce point si l'on connaît une équation de chaque droite.

Soient les droites \(\displaystyle{d_1}\) et \(\displaystyle{d_2}\) d'équations \(\displaystyle{d_1 : y = 2x+1}\) et \(\displaystyle{d_2 : y = -x+3}\).

S'il existe, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.

Etape 1

Vérifier que les droites ne sont ni parallèles ni confondues

On sait que deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles ou confondues si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
On vérifie donc que les deux droites n'ont pas le même coefficient directeur.

Deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles ou confondues si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Or le coefficient directeur de \(\displaystyle{d_1}\) vaut 2 et celui de \(\displaystyle{d_2}\) vaut −1.

Les droites \(\displaystyle{d_1}\) et \(\displaystyle{d_2}\) ne sont donc pas parallèles. Elles sont sécantes en un point A.

Etape 2

Poser le système

Les coordonnées \(\displaystyle{\left( x;y \right)}\) du point d'intersection de deux droites \(\displaystyle{\left(d\right) : y = ax+b}\) et \(\displaystyle{\left(d'\right) : y = mx+p}\) vérifient le système :

\(\displaystyle{\begin{cases} y=ax+b \cr \cr y = mx+p \end{cases}}\)

On sait que les coordonnées \(\displaystyle{\left( x;y \right)}\) du point d'intersection A des droites \(\displaystyle{\left(d_1\right) : y = 2x+1}\) et \(\displaystyle{\left(d_2\right) : y = -x+3}\) vérifient le système :

\(\displaystyle{\begin{cases} y=2x+1 \cr \cr y = -x+3 \end{cases}}\)

Etape 3

Résoudre le système

On résout le système en trouvant son couple solution \(\displaystyle{\left(x_0 ; y_0\right)}\).

Pour tous réels x et y :

\(\displaystyle{\begin{cases} y=2x+1 \cr \cr y = -x+3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} y=2x+1 \cr \cr 2x+1 = -x+3 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} y=2x+1 \cr \cr 3x = 2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} y=2x+1 \cr \cr x = \dfrac{2}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} y=2 \times \dfrac{2}{3} +1 \cr \cr x = \dfrac{2}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{4}{3} +\dfrac{3}{3} \cr \cr x = \dfrac{2}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{7}{3} \cr \cr x = \dfrac{2}{3} \end{cases}}\)

Etape 4

Conclure sur le point d'intersection

On en déduit les coordonnées du point d'intersection des deux droites.

On en déduit que le point d'intersection de \(\displaystyle{\left(d_1\right)}\) et \(\displaystyle{\left(d_2\right)}\) est le point A de coordonnées \(\displaystyle{ \left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{7}{3}\right)}\).